补偿法求刚体定轴转动惯量的一般解

冯金地

(信阳师范学院华锐学院理工系 河南 信阳 464000)



补偿法求刚体定轴转动惯量的一般解

冯金地

(信阳师范学院华锐学院理工系 河南 信阳 464000)

通过猜想加证明的方式得到了求解刚体定轴转动惯量的一个新推论,由这个推论可以将组合定理进行推广.工程力学上常常遇到的求解形状复杂的均匀刚体的转动惯量时此推论将会特别有用.本文最后通过一道例题，说明它具有简单、快捷的优点，并有独到之处.

转动惯量 叠加原理 补偿求和法

本文首先通过对该表几个典型刚体转动惯量的推导,探讨相似刚体之间转动惯量的内在逻辑关系，得到了转动惯量组合定理的一个新的推论——补偿求和法;最后通过一道例题说明它在工程力学上可以简单快捷地求解某些结构复杂的刚体转动惯量；同时此推论对大学理工科学生关于刚体力学中转动惯量的深入理解也大有益处.

1 补偿求和法的引入

1.1 同心圆环的转动惯量

讨论匀质质量为m,内外半径分别为R1和R2的薄同心圆环,求对其任一直径的定轴转动惯量.如图1所示,以y轴为定轴,可先求均质,质量为m,半径为R的薄圆盘(圆心与原点O重合,圆盘置于xOy平面内)对y轴的转动惯量.

图1 同心圆环的定轴转动

因积分区域为圆形,采用平面极坐标系(r,θ),如图取质元dm=σdS=σrdrdθ，σ为质量面密度，质元dm到y轴距离r′=rcos θ,则有

I=Iy=∫r′2dm=∬(rcos θ)2σrdrdθ=

代入m=πR2σ，得

(1)

即为薄圆盘对任一过其直径的定轴转动惯量.

本题中,圆环可等价为质量为m1，半径为R1的圆盘被挖去一个质量为m2, 半径为R2的同心圆盘, 设两个同心圆盘对y轴的转动惯量分别为I1和I2, 则我们猜想所求薄圆环对y轴转动惯量I满足叠加原理

I=-I1+I2

(2)

其中I1为想象的.则由式(1)，有

这一结果的正确性可由积分法予以验证.

I=∫r′2dm=∬(rcos θ)2σrdrdθ=

(3)

可见上述的猜想式(2)是正确的. 对式(3)作一讨论是有趣的.

(1)R1→R2=R时,圆环变为细圆环(一维),得

(2)R1→0,R2=R时,圆环变为圆盘,得

此法可称为补偿求和法，在计算某些形状复杂或被挖空的刚体转动惯量时往往会很方便.

1.2 同心球壳的转动惯量

图2 同心球壳的定轴转动

求匀质质量为m，内外半径分别为R1和R2的同心球壳对其任一直径为定轴的转动惯量.如图2所示,以z轴为定轴,采用补偿求和法.

设半径分别为R1和R2的两同心球体(均为实心)的质量以及对定轴z轴转动惯量分别为m1与m2和I1与I2. 因前者是虚构的, 取负号.则

(4)

且m=m2-m1,式中ρ为质量体密度，得

将m1,m2及ρ代入(4)得

(5)

即

(6)

为同心球壳对任一直径的转动惯量.

讨论此结果是有意义的.

(1)R1→R2=R时

此即为空球壳(二维)的转动惯量;

(2)R1→0,R2=R时

即为实心球体的转动惯量.(上述结果均与文献[1]118页表3-1相关内容吻合)

1.3 同心圆柱壳的转动惯量

再举一例:一圆柱壳匀质,内外半径分别为R1和R2,圆柱长l.求对过质心且与底面平行的转轴的转动惯量. 在柱坐标系下(r,θ,z)可求得底半径R,长l，质量m的圆柱体对过质心且与底面平行的转轴的转动惯量

(7)

依补偿求和法,设两同心圆柱体质量分别为m1和m2;半径分别为R1和R2.对该定轴转动惯量分别为I1和I2,并由式(7)得

(8)

其中

代入式(8)

(9)

因m=m2-m1,于是

代入式(9)得

(10)

即为圆柱壳对过质心且与底面平行的转轴的转动惯量.

容易验证:

(1)对于空柱壳, R1→R2=R,有

(11)

(2)对于实心圆柱, R1→0,R2=R,有

(12)

2 补偿求和法的数学表述及在工程力学上的应用

2.1 补偿求和法的数学表述

通过以上分析和论证,我们可将普通物理学中的刚体转动惯量组合定理加以改造.组合定理指出:刚体由n部分组成时,第i部分对定轴转动惯量为Ii,则刚体对该定轴转动惯量可以写成

(13)

刚体转动惯量的补偿求和法则如下.

刚体由n部分组成时, 第i部分对定轴转动惯量大小为Ii,正负取决于该部分自身,即如果该部分质量是实际存在的(real),则取“+”号;如果是虚构的(imaginary),则取“-”号.刚体对定轴转动惯量可写为

(14)

利用补偿求和法则有时候可以很方便快捷求出某些复杂刚体对定轴的转动惯量(特别是组合定理不能直接使用时), 下面仅举一例作为此法之应用.

2.2 补偿求和法在工程力学上的应用

有一模具,由柄(线密度为λ)和与柄相连的薄圆盘(面密度为σ)组成,柄长l,圆盘半径R2,中心被挖去半径R1的圆.且四周亦被对称地挖去4个小正方形,边长为a,其与小圆边沿相距均为b, 如图3所示.求模具对以O为心,且垂直于盘面的转轴的转动惯量(图中空白处均表示被挖空部分).

图3 模具的定轴转动

解析:分析得知,模具可看成由7个部分组成.即长为l的柄(m1),半径为R2的大圆盘(m2),半径为R1的小圆盘(m3),4个小正方形(m4,m5,m6,m7).(除前两个部分,其余5部分全部为虚构的)设以上各部分对以O为心,且垂直于盘面的转轴的转动惯量的大小分别为I1,I2,I3,I4,I5,I6,I7.

根据补偿求和法则,模具对同一转轴转动惯量I满足

(15)

利用刚体定轴转动的平行轴定理易得

I6=I7=

故模具对过O点且垂直于圆盘面的转轴的转动惯量为

1 程守洙,江之永.普通物理学.(第6版).北京：高等教育出版社，2006.118

The General Solution on Fixed Axis Moment Inertia of Rigid Body by Compensation Method

Feng Jindi

(Science and Technical Department, Xinyang Normal University Huarui College,Xinyang,Henan 464000)

We obtain a new conclusion about solution of moment of inertia about a fixed axis by guess and proof in this article, from the conclusion the combination theorem of moment of inertia is generalized. It will be specially useful when we frequently confront solving moment of inertia of some complicated-shaped rigid body on engineering mechanics. In the end we solve a problem for example by this conclusion to show its advantage of simpleness, convenience and speciality.

moment inertia; principle of superposition; compensation summation method

冯金地 (1984- ) ,男,硕士, 讲师, 从事大学物理、理论力学，量子力学等课程的教学和纳米磁性材料的研究工作.

2015-12-17)