带有耗散项的KdV-BO方程解的适定性研究

孙海霞，王虎生，杨 晗，马 宇

(西南交通大学数学学院，四川 成都 611756)

带有耗散项的KdV-BO方程解的适定性研究

孙海霞，王虎生，杨 晗，马 宇

(西南交通大学数学学院，四川 成都 611756)

研究带有一般耗散项的KdV-BO方程的柯西问题.KdV-BO方程是描述长波在深槽双流体系统中传播的模型，该流体系统中的低层流体是具有很大密度，交界面处有毛细现象.首先，本文借助半群和压缩映像原理得到了方程柯西问题的局部适定性.其次，基于能量积分估计，对满足一定条件的耗散项，得到方程的整体适定性，最后，文章研究了方程解的指数衰减性.

KdV-BO方程；耗散项；适定性；衰减性

1 引言

本文研究带有耗散项Lγ(u)的KdV-BO方程的柯西问题

其中阻尼算子Lγ(u)是由如下的傅里叶变换算子给定

这里γ(ξ)＞0，ξ∈R，且满足如下性质

首先我们来回顾经典的KdV-BO方程的柯西问题

的已有研究结果，其中α，β为常数，且满足αβ≠0，H为Hilbert变换，即

方程(1.2)是描述长波在深槽双流体系统中传播的模型，该流体系统中的低层流体是具有很大密度，交界面处有毛细现象.KdV-BO方程中既包含KdV方程的成分，又包含BO方程的成分，这两种方程有许多类似的性质，例如N-孤子解，Baclund变换与Lax对以及无穷多个守恒律等(参见文献[10]).

事实上，当α＝0时，(1.2)描述的是长波在浅水中的传播，(1.2)则变为著名的KdV方程.KdV方程模型是在研究小振幅长波单向传播时得到的(文献[1])，记为

对于(1.3)有许多的研究，例如在文献[2]中，Bona等人研究了KdV方程的周期初边值问题

并研究了耗散项Lγ(u)对解的整体适定性的影响.事实上他们研究了Lγ(u)为 －δuxx与σu两个耗散项时的情形，并得出当p≥4时，存在临界值δc和σc使得当δ＞δc或σ＞σc时，整体解是存在的.

文献[3]中作者考虑了更一般的耗散项Lγ(u)，并研究了带有耗散项的KdV方程

解的适定性问题，得到当 p＜4时，整体解在H1(R)中存在，p≥4时，整体解在H2(R)中存在.

当β＝0时描述的是长波在深水中的传播，即是BO方程.文献[4]中，Ponce证明了BO方程

关于研究KdV-BO方程的解的存在性，稳定性及其孤波解有很多文章研究过，例如文献[6]，[7].文献[8]研究了如下柯西问题

在本文中，我们考虑(1.4)带有耗散项Lγ(u)的情形，即研究了柯西问题(1.1)的解的适定性，同时在给定Lγ(u)条件下研究解的整体适定性，作为附加产品，也研究了方程解的L2范数的指数衰减性.

下面给出一些记号:空间Hγs(R)定义为

其空间范数为

2 预备知识

本节给出耗散项、空间和线性半群的一些性质，将在后面用到.

其线性部分生成的半群可以表示为

在后面的部分，将f(u)定义为方程的非线性项，即f(u)＝∂x(ul＋1).

引理2.1 假定s，r∈R＋，存在一个仅依赖于r的一个常数Cr＞0使得对∀u∈Hγs(R)和∀t＞0，我们有

下面给出关于空间Hγs(R)中嵌入的一些结论及KdV-BO方程中算子的一些性质.

引理2.3 设γ和β使的对所有的ξ∈R有γ(ξ) ＞β(ξ).定义

Hγ(R)到Hβ(R)的连续嵌入是紧的当且仅当

引理2.4 假设u，v∈Hγ(R)且存在一个常数C ＞0使得对∀ξ，η∈R我们有

引理2.5 H为Hilbert变换，它具有下述的重要性质:

3 局部适定性

我们研究方程的柯西问题:∀x∈R，∀t＞0，

首先我们来陈述问题的适定性.

定理3.1 假设γ(ξ)满足以下条件

此外，对所有的M ＞0有‖u0‖γs≤M，‖v0‖γs≤M，存在常数C1＞0使得方程与初值u0，v0有关联的解u，v满足对所有的有

让来证明解的存在唯一性.对∀T＞0定义 B (T)

由此容易得知空间B(T)是一个完备的度量空间.

应用皮卡不动点定理，首先来证明Φ(B(T))⊂B(T).取u∈B(T)，我们有

因此，由(3.2)、(3.3)和(3.4)式得:

现在来证明Φ是一个严格的压缩映射.令u，v ∈B(T)，证明对∀t∈ 0，T[ ]，

4 整体适定性

在前面引理假设的前提下，使用能量方法来研究KdV-BO方程的整体适定性.

定理4.1 当l＜4时，对所有的γ，整体解在H1(R)中.否则(当l≥4时)，存在常数θ＞0使得当γ(ξ)≥θ，∀ξ∈R，整体解在H2(R)中.

证明:当l＜4时，N(u)和E(u)是方程的不含耗散项的两个量，他们分别是L2范数和能量.其表达式为

Ω是一个递增的函数，而‖u(·，t)‖L2关于t是递减的，则当t＝0，γ(ξ)－Ω≥0时，‖uxx(·，t)‖L2关于t≥0不可能是递增的.

特别地，当γ(ξ)≥Ω (‖u0‖L2，‖u0xx‖L2)＝:θ时，半范数‖uxx(·，t)‖L2在t＝0下是有界的.

5 方程解的衰减性

定理5.1 KdV-BO方程具有L2范数守恒的性质，但加了耗散项Lγ(u)之后，L2范数指数衰减，即

证明:对方程

作能量积分.用u乘方程的两边，然后对x积分:

因此，对所有的t，方程解是L2范数指数衰减的.

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(责任编辑：付强，张阳，李建忠，罗敏；英文编辑：周序林)

The well-posedness of KdV-BO equation with dissipation

SUN Hai-xia，WANG Hu-sheng，YANG Han，MA Yu

(Department of Mathematics，Southwest Jiaotong University，Chengdu 611756，P.R.C.)

This paper studies the Cauchy problem of the KdV-BO equation with dissipative term.The equation models are the undirectional propagation of long waves in a two-fluid system，where the lower fluid with greater density is infinitely deep and the interface is subject to capillarity.Firstly，the local well-posedness for the Cauchy problem is obtained by the contraction mamapping theorem.Secondly，based on the energy estimates，the global well-posedness for the equation with the dissipative term which satisfies certain conditions is received.Finally，the exponential decay of the solutions to the equation is proved.

KdV-BO equation；dissipation；well-posedness；decay

O175

A

2095-4271(2016)04-0446-06

10.11920/xnmdzk.2016.04.014

2015-11-16

孙海霞(1990-)，女，汉族，山西人，硕士研究生，研究方向:偏微分方程，E-mail:1170537536＠qq.com.

杨晗(1969-)，男，汉族，教授，研究方向:非线性发展偏微分方程解的适定性.

国家自然科学基金项目(No.71572156).