射影几何学的对偶原则

金英姬

由于绘图学和建筑学的需要，人们对投影性质产生了兴趣，射影几何就是在实际的应用科学和艺术的推动下诞生并发展起来的。区别于具有度量特点的欧式几何，射影几何隶属于非欧几何范畴，是研究图形在射影变换下不变的性质。在射影几何学中，对偶原则占据特殊而重要的地位。

一、对偶原则

对偶原则通常是描述两个体系之间的某种对称性的。如果体系A与B互为对偶，则从其中任意一个体系的规律可推知另一个体系的规律。

在射影几何学中，对偶原则是指在射影命题中，处于对偶关系的元素，可以通过相互替换，将命题A变为命题B从而构成新的命题。特别的，若命题A为真（伪），则命题B亦为真（伪）。

以平面射影几何学为例，点与直线是处于对偶地位的基本元素，直线是自对偶元素。凡是涉及点与直线接合问题的相关命题都是射影命题。根据对偶原理，将原射影命题中的“点”替换为“线”，“共线”替换为“共点”，“点列”改为“线束”，“在……上”改为“经过……”，原射影命题将会变为一个新的命题，且新命题与原命题保持相同的真伪性。下面以历史上著名的Pascal定理为例窥探对偶原则的基本思想。

Pascal定理：一个六边形的六个顶点在一条二次曲线上，当且仅当该三对对边的交点在一条线上。

Pascal定理的对偶定理：一个六边形的六条边切一条二次曲线，当且仅当该三对顶点的线交于一点[1]。

事实上，Pascal定理是关于点、直线及它们的接合关系的射影定理，其对偶命题就是历史上的著名的Brianchon定理。一般的，适用于二维射影平面上的对偶原则称为平面对偶原则。适用于三维射影空间上的对偶原则，被称为三维空间对偶原则。类推，存在n维空间对偶原则。但是，值得注意的是，但在不同维度的空间里，其对偶元素、对偶命题是不尽相同的。

二、射影几何中对偶原则产生的理论根源

追溯射影几何学中对偶原则的理论根源，首先应深刻理解射影平面上引入的无穷远元素和无穷远直线。在欧式几何中，每组平行线是没有交点的，平行平面也没有交线，这导致了中心映射无法成立。射影几何最中心和最首要的问题是解决图形在中心投影或平行投影变化问题。因此，为了使中心映射在空间中满足双射，在每一条直线上添加一个理想点，在每张平面上添加一条理想直线，从而引入了无穷远元素和无穷远直线的概念。

若欧式平面中单纯的引入无穷远元素和无穷远直线，欧式平面则变为仿射平面。在仿射平面中，有穷远元素和无穷远元素是两个截然不同的概念。如果将有穷远元素与无穷远元素不加区别使用，则仿射平面变为射影平面。因此，区别于欧式几何和仿射几何，在射影平面中任意两直线都相交于同一个无穷远元素，这直接导致有接合关系的点与直线之间的关系有了新的变化，它们在射影平面中处于平等地位，对偶关系应运而生。

三、对偶原则的广泛应用

简洁性和广义对称性是对偶原则的重要特点。对偶原则不仅适用于射影几何，在数学的其他分支学科中也适用。根据对偶原则，若定理的内容只涉及对偶关系的元素，则这个定理一定可以得到对偶命题，且该命题一定成立。例如，在布尔代数中，可以利用对偶原则，将对偶变量互换得到等价公式和规则，从而极大地简化运算规律与运算公式。德摩根定理、广义德摩根定理、香农定理、置换规则、反演规则等都是对偶原则下的经典实例。在自动控制与系统工程领域中，利用对偶原则可以研究经济学中的相互确定关系。例如，效用与支出，产出与成本，等等。通过对偶规划及在积分变换中研究互逆变换等，可以将实际问题转变成数学结构，利用对偶原则关联起来可以更好地解决问题。

在物理学中，对偶原则及其方法也得到广泛的应用。利用对偶原则和对偶现象，以有效地揭示元素之间一些相似或相对的内在联系，简化认知事物的过程。对物理学家而言，对偶性既是理论物理研究的核心概念，又是实验物理研究的重要范畴[2]。比如，在电路学中，不论是电路元件、电路拓扑结构还是电路分析方法，等等，利用电路的对偶关系可以从一个电路的元件特性推演出其他电路元件的特性。在弦论研究中，基于对偶原则，可以窥探得知：拥有不同时空和不同拓扑的弦论，却可导致相同的物理学。在研究和探索自然规律的进程中，借助对偶原则的引导，将激励科学家进行更大胆的猜想、假设、实验和论证。

参考文献：

[1]莫里斯·克莱因，古今数学思想[M].上海：上海科技出版社，2006.

[2]沈健，弦论的对偶性能为科学哲学带来什么[J].科学技术哲学研究，2013，30（4）：1-5.