带有变指数拟线性椭圆方程组的边界爆破解

朱莹,马飞遥

(宁波大学理学院,浙江 宁波 315211)

带有变指数拟线性椭圆方程组的边界爆破解

朱莹,马飞遥

(宁波大学理学院,浙江 宁波 315211)

研究了在光滑有界域中带有变指数的拟线性椭圆方程组,且该方程组满足边界爆破的条件,在常指数的基础上进一步深入讨论了变指数的情况.主要运用了构造上下解和迭代的方法证明了边界爆破解在临界与次临界条件下,解的存在性,唯一性以及边界行为.

椭圆方程;拟线性;变指数;边界爆破

1 引言

本文将研究如下带有变指数拟线性方程组的边界爆破问题

其中Ω是RN中的光滑有界域,∆p代表p-Laplacian算子,定义为

指数a(x),b(x),c(x),e(x)满足a(x),e(x)＞p-1,b(x),c(x)＞0.边界爆破行为是指当d(x)→0+时,u(x),v(x)→+∞,其中d(x)表示Ω中任意一点x到边界∂Ω的距离,即

边界爆破问题已经被大量的国内外研究者研究.他们分别从不同的角度用不同的方法研究了不同问题的边界爆破,从单个方程到方程组,从线性方程,半线性方程,拟线性方程到完全非线性方程,研究了所谓的次临界、临界乃至超临界时的边界爆破问题.

文献[1]在对方程 ∆u=eu,x∈Ω,u=∞,x∈∂Ω作了探讨,证明该方程具有唯一解u∈C2(Ω),并且给出了边界行为.从此拉开了研究椭圆方程边界爆破问题的序幕.

文献[2]研究了含一般右端项的拟线性椭圆方程∆pu=f(u)在右端项为单调增的正函数和一些其他的条件时的解的情况.与此同时,还研究了径向对称情况下的解的边界行为.

文献[3]考虑了当指数a(x),b(x),c(x),e(x)为常数时的拟线性椭圆方程组

分别分析了在次临界(a(x)-p+1)(e(x)-p+1)＞b(x)c(x)和临界(a(x)-p+1)(e(x)-p+1)=b(x)c(x)条件下解的边界爆破行为,并且给出了满足一定条件下的解的存在性和唯一性.文献[4]研究了带有权函数的拟线性单个方程的边界爆破解.

本文的主要研究内容是基于前人研究基础上,对变指数的拟线性方程组次临界和临界条件给予新的定义,并得到有类似于文献[5]中边界爆破的结果.我们关注的是非负的弱解,即(u,v)满足方程组(1.1),且然而,根据p-Laplacian的正则性,我们可以观察到弱解(见文献[6-8]),又由变指数a(x),e(x)＞p-1,再利用比较原则,可以得到在Ω中u,v＞0(见文献[9]).

2 主要结果

本文利用类似于文献[3]中迭代的方法,并结合上下解的构造,得到了次临界和临界情况下,方程组(1.1)解的边界行为,即：

定理2.1(次临界条件下解的存在性)假设(a(x)-p+1)(e(x)-p+1)＞b(x)c(x),则方程组(1.1)至少有一个正解当仅当b(x)＜e(x)-p+1,c(x)＜a(x)-p+1.

定理 2.2(次临界条件下解的边界行为)假设 (u,v)是方程组 (1.1)的一组正解,a(x),e(x)＞p-1,并且满足则存在常数C1,C2,使得

定理2.3(解的唯一性)假设(u1,v1),(u2,v2)都是方程组(1.1)的正解,a(x),e(x)＞p-1,并且满足和当x∈∂Ω时,则u1=u2,v1=v2.

定理2.4(临界条件下解的存在性)假设(a(x)-p+1)(e(x)-p+1)=b(x)c(x),则当且仅当b(x)=e(x)-p+1,c(x)=a(x)-p+1,方程组(1.1)的解存在.

3 预备知识

在该部分,将给予本文要用到的一些新的定义并给出以下与方程组(1.1)相关的一些单个方程以及相关方程组的一系列性质.

对于q(x)＞p-1,γ(x)＞0,考虑方程

其中d(x)=dist(x,∂Ω).

定义3.1定义两个变量

其中Uq(x),γ(x)为方程(3.1)的解.由文献[4]可知当q(x)与γ(x)都为常数时,Aq(x),γ(x),Bq(x),γ(x)为正的且有限的变量.

定义3.2如果方程组的指数满足条件(a(x)-p+1)(e(x)-p+1)＞b(x)c(x),称为次临界条件;类似地,如果方程组的指数满足(a(x)-p+1)(e(x)-p+1)=b(x)c(x)则称为临界条件.且定义为a(x),b(x),c(x),e(x)的最小值;为a(x),b(x),c(x),e(x)的最大值.

定义3.3如果当使得

引理 3.1[10]令G：Q×R→R是连续且不增的,u,v∈W1,p(Q)对所有的非负函数分别满足不等式

且满足u≤v,x∈∂Ω,则u≤v,x∈Ω.

引理3.2假设和分别是下列方程组的下解和上解,

引理 3.3假设和分别是方程组(3.2)的下解和上解,且当当x∈Ω,则方程组 (3.2)至少有一个弱解 (u,v),且满足当当x∈∂Ω,u=v=+∞.

引理 3.4令(u1,v1),(u2,v2)是下列方程组的弱解

4 定理的推论与证明

4.1 次临界条件

4.2 临界条件

参考文献

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[10]Tolksdorf P.On the Dirichlet problem for quasilinear equations in domains with boundary points[J].Comm.Partial Differential Equation,1983,8：773-817.

Boundary blow up solution for variable exponent quasilinear elliptic systems

Zhu Ying,Ma Feiyao
(Department of Mathematics,Ningbo University,Ningbo 315211,China)

The semilinear elliptic equations with variable exponents is studied in a smooth domain,and the equation systems verifies the conditions of boundary blow-up.Upon the basis of constant exponents,this paper takes into deep considerations of the case of variable exponents and obtains the existence,uniqueness and boundary behavior of boundary blow-up solutions in the critical and subcritical condition by the construction of super-sub solutions and interation method.

elliptic systems,quasilinear,variable exponent,boundary blow up

O175.25

A

1008-5513(2016)06-0640-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.06.010

2016-09-12.

国家自然科学基金(11201250).

朱莹(1992-),硕士生,研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:35J55