特殊相似椭圆的一组性质

北京市陈经纶中学 (100020)

张留杰

特殊相似椭圆的一组性质

北京市陈经纶中学 (100020)

张留杰

根据相似形的定义，我们不难定义相似椭圆：

如果两个椭圆的长轴和短轴对应成比例，则称它们是相似椭圆.

显然对于中心在原点的两个相似椭圆，其方程可以设为C1:αx2+βy2=1(α>0,β>0且α≠β)和C2:αx2+βy2=λ2，它们的相似比为λ(λ>0且λ≠1).

首先，类比同心圆的性质，给出相似椭圆的一条重要性质定理：

定理相似椭圆C1:αx2+βy2=1(α>0,β>0且α≠β)和C2:αx2+βy2=λ2(λ>1)，如图1，过C2上一点P作C1的两条切线PA、PB，交椭圆C2于A、B两点，切点分别为M、N.则M、N分别为PA、PB中点，且OP平分切点弦MN.

图1

证明：设P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，所以C1的切线PM:αx1x+βy1y=1，PN:αx2x+βy2y=1，将点P(x0,y0)的坐标代入，得αx1x0+βy1y0=1和αx2x0+βy2y0=1，所以切点弦MN所在直线方程为αx0x+βy0y=1.

下面探究两对相似比为特殊值的相似椭圆的性质.

命题1相似椭圆C1:αx2+βy2=1(α>0,β>0且α≠β)和C2:αx2+βy2=2，过C2上一点P作C1的两条切线(切线与坐标轴不平行)，交椭圆C2分别为A、B，切点分别为M、N，如图2，则

(1)四边形OMPN为平行四边形；

(2)切线PA与PB的斜率之积为定值；

(3)四边形OMPN的面积为定值；

(4)A、O、B三点共线.

图2

证明：设P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

(4)连结OA、OB，由定理知PM=MA，PN=NB，又由(1)知MN平分PO，所以MN∥AO且MN∥OB，所以A、O、B三点共线.

二、相似比λ=2的相似椭圆性质

对于相似比为2的相似椭圆，除了相似椭圆共有的性质之外，还有如下性质.

图3

命题2相似椭圆C1:αx2+βy2=1(α>0,β>0且α≠β)和C2:αx2+βy2=4，过C2上一点P作C1的两条切线，交椭圆C2分别为A、B，切点分别为M、N，如图3，则(1)AB是椭圆C1的切线；(2)△PAB的面积为定值.

证明：设P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

=1，所以AB切椭圆C1于点D.

(2)由(1)可得S△PAB=4S△PMN，又OQ∶OP=1∶4，所以S△PMN=3S△OMN，所以S△PAB=12S△OMN.而

经过探究，笔者还发现上述三个椭圆之间存在如下关系

命题3过椭圆C1:αx2+βy2=1(α>0,β>0且α≠β)上一点M作切线，交椭圆C2:αx2+βy2=2于A、B两点，如图4，椭圆C2在A、B两点处的切线交于点P，则点P的轨迹是椭圆αx2+βy2=4.

图4

经历以上探究过程，不仅得出这两组特殊相似椭圆的优美性质，为进一步研究相似椭圆奠定了基础，还凸显了椭圆方程αx2+βy2=1在论证过程中所起的简便作用.