5次对称群S5的一类子群的一个构造方法

唐耀平　吴建平　周立平



5次对称群S5的一类子群的一个构造方法

唐耀平吴建平周立平

（湖南科技学院 理学院，湖南 永州 425199）

由于有限群的Lagrange定理的逆定理不成立。因此，要确定S5的各阶子群是较困难的。文章通过次对称群的基本概念及5-循环置换各次方幂的计算及研究，找到了S5的一类子群的构成规律，并使用构造性方法给出了3、5、6、8阶子群。

5次对称群；子群；Lagrange定理；循环置换

1　引　言

关于子群及个数的研究在计算机通信、代数编码及计数理论研究中都具有重要意义。次对称群S是一个重要的群，由定理知，任何有限群都同构于对称群S的一个子群. 所以，只要能够解决S的所有子群及这些子群的结构，则任意有限群的问题就得到完全解决。但较大时，要找出S的全部子群及决定各子群的结构仍然困难。文献[2]讨论了4的所有子群及其结构，文献[3-5]讨论了6的所有子群及两类子群的构造方法，文献[6]讨论了5的2、4、20、24阶的子群，文献[7-13]给出了5的子群5的一些性质及其结构。这些文献表明对次对称群S及其子群的讨论依然是非常活跃的。本文使用有限群的定理及次对称群的结果，构造性地给出了5的3、5、6、8阶子群，文中所引用的符号见文献[1]。

2　预备定理

3　主要结果

3.1 5－循环置换幂的计算

‖   ‖    ‖    ‖    ‖

（5）5－循环置换24个，由上述5－循环置换幂的计算，全部24个5－循环置换按其1，2，3，4次方幂进行分组，共为6组，分别为：

，，， ，，，

，， ，，

（7）3×2－循环置换的乘积20个，按3－循环置换与不相交的2－循环置换的乘积进行，即

，，，

，，，

3.2 构造S5的子群

命题15有10个3阶子群.

证明：由定理1及推论，由于3是素数，因此3阶群必为循环群，且由一个3阶元生成，又由定理3，3阶元的平方是其逆元，因此5有10个3阶子群，即：

，，，

.

命题25有6个5阶子群.

证明：由定理1及推论，5的5阶子群的元素的阶只可能为1、5，又由于5是素数，因此5阶群必为循环群，所以组成5的5阶子群的元素除单位元外，只可能由5－循环置换的元素组成，即：

，

命题35有30个6阶子群.

证明：由定理1及推论，5的6阶子群的元素的阶只可能为1、2、3、6，所以组成5的6阶子群的元素除单位元外，只可能由2－循环置换、3－循环置换、2×2－循环置换的乘积、3×2－循环置换的乘积、6－循环置换或它们的元素组合形式，即；

（1）经计算由单位元、2－循环置换、3－循环置换与3×2－循环置换的乘积形式的元素组成5的10个子集均为5的6阶子群，即：

，，

，，

每个子群的构浩方法（本文取、、、、为5－循环置换的5个元素）：

（1.l）从命题2中任意选定一个3阶子群，取其3阶元（如()）.

（1.2）取与这个3阶元不相交的2阶元（如()）.

（1.3）将2阶元与3阶子群相乘即得.

（2）经计算由单位元、3－循环置换与3×2－循环皆换的乘积形式的元素组成5的10个子集均为5的6阶子群，即：

，，

，，

每个子群的构造方法：

（2.1）从命题2中任意选定一个3阶子群，取其3阶元（如()）.

（2.2）取这个3阶元3个数字的任意二者组合，组成2阶元（如()、()、()）.

（2.3）取与这个3阶元不相交的2阶元（如()）.

（2.4）将()与第2步中任一个2阶元（如()）相乘得2×2－循环置换的乘积(如()()).

（2.5）将这个2×2－循环置换乘积形式的元与第1步中3阶子群相乘即得.

（3）经计算由单位元、2－循环置换与3－循环置换的元素组成5的10个子集均为5的6阶子群，即：

，，

，，

每个子群的构造方法：

（3.1）从命题2中任意选定一个3阶子群，取其3阶元（如(abc)）.

（3.2）取这个3阶元3个数字的任意二者组合，组成2阶元（如(ab)、(ac)、(b c)）.

（3.3）取第2步中任一个2阶元（如(ab)）.

（3.4）将这个2－循环置换的元与第1步中3阶子群相乘即得.

命题45有15个8阶子群.

证明：由定理1及推论，5的8阶子群的元素的阶只可能为1、2、4、8，所以组成5的6阶子群的元素除单位元外，只可能由2－循环置换、4－循环置换、2×2－循环置换的乘积或它们的元素组合形式，即：

经计算由单位元、2－循环置换、4－循环置换与2×2－循环置换的乘积形式的元素组成5的15个子集均为5的8阶子群，即：

，

，

，

，

，

每个子群的构造方法：

（1）每个子群的前三个元素是从文章所给的5组2×2－循环置换的乘积中任取的一组，再加上单位元.

（2）第五、六个元素为前三个的第一个2×2－循环皆换的拆分.

（3）第七、八个元素分别为第二、三个2×2－循环置换按顺序合并成4－循环置换.

（4）在所取的2×2－循环置换的3个元素中按轮回排列先后顺序.

[1]徐明耀.有限群导引[M].北京:科学出版社,1999.

[2]孙自行,崔方达.4次对称群的子群个数及其证明[J].阜阳师范学院学报,2005,(4):13-16.

[3]黄本文.对称群6的一类子群[J].武汉交通科技大学学报,2000,(2):129-134.

[4]Huang Ben-wen.The subgroups of symmetric groups6[J].Applied Mathematics A Journal of Chinese Universities,2001,(1):31-35.

[5]Huang Ben-wen.The subgroups of symmetric group6[J].Journal of Wuhan Transportation University,2000,(2):129-134.

[6]班桂宁,吴建平,张中建,张玉.5的一类子群的一个构造方法[J].吉首大学学报(自然科学版),2008,(4):1-4.

[7]Machi A,Siconofi A.A new characterization of5[J].Arch.Math.1977:385-388.

[8]Arad Z,Chillang D,Herjog M.Classification of finite groups by a maximal subgroup[J].Journal of Algebra,1981,(1):235-244.

[9]Shi Wu-jie.Characterization of A5and the finite groups in which every element has prime order[J].Journal of Southwest Teachers University,1984,(1):36-40.

[10]Shi Wu-jie.Characterization proerty of5[J].Journal of Southwest Teachers University,1986,(3):11-14.

[11]Huang Ben-wen.The characterization of5[J].Wuhan University Journal of Natural Sciences,1997,(4):405-410.

[12]孙自行.5次交错群5的10阶子群的一个构造方法[J].电子科技大学学报,2006,(3):419-422.

[13]包霞,焦艳.5的一类12阶子群的构造[J].西北民族大学学报,2007,(3):11-15.

（责任编校：何俊华）

2017－05－09

湖南省自然科学基金项目（项目编号12JJ3077）。湖南省教育厅资助科研项目（项目编号12C0688）。

唐耀平（1973－），男，湖南永州人，教授，硕士，主要从事数值代数及群体决策研究。

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A

1673-2219（2017）10-0001-04