氢原子与类氢原子核外电子概率密度分布的比较研究

张 宇，唐启祥

（文山学院 信息科学学院，云南 文山 663099）

氢原子核外电子的概率分布特点是量子力学教学中的重要内容之一，是初学者建立微观粒子状态按概率分布概念的必备知识，也是德布罗意波理论在氢原子体系中的直接体现。采用图像表征很直观，便于初学者对该理论的理解。现行的量子力学教材中，对氢原子核外电子的径向概率分布函数Wnl(r)和角向概率分布函数Wlm(θ)进行了初步的描述，绘制了几个示例性的二维平面图，但对绘制的方法没有作说明；对氢原子核外电子在三维空间的概率分布函数Wnlm(r,θ,φ)及三维分布图没有介绍和表征；氢原子与类氢原子核外电子的概率分布的对比研究也不见报道。

作为物理学专业的学生，通过对量子力学中氢原子理论的深入学习，在指导教师的指导下，沿着这样的技术路线进行了研究：首先，通过查阅资料整理出氢原子及类氢原子体系核外电子径向波函数和角向波函数[1-14]；其次，将波函数转换成相应的概率分布函数；第三，通过MATLAB软件编程表征概率分布，实现其可视化；第四，比较两种体系核外电子的概率分布特点，得出它们的异同之处。

1 核外电子概率分布

1.1 径向波函数及径向概率分布函数

在球坐标系中，氢原子和类氢原子具有相同形式的波函数：

为径向波函数，质子数Z=1对应于氢原子，Z≠1对应于类氢原子。Nnl为归一化系数，a0为氢原子的第一波尔轨道半径，为合流超几何函数。Ylm(θ,φ)为角向波函数，是球谐函数，具体形式为：

式中，(cosθ)为连带勒让德多项式，Nlm为归一化系数。

氢原子处于ψn,l,m(r,θ,φ)态时，电子在点 (r,θ,φ)周围的体积元dr=r2sinθdrdθdφ内的概率为：

将式（4）对θ从0→π，对φ从0→2π积分，便可得到在半径r到r+dr的球壳内找到电子的概率为：

Wnl(r)就是径向概率密度分布函数。表1给出了几个低量子数的径向波函数和径向概率密度分布函数。

表1 径向波函数和径向概率密度分布函数

1.2 角向波函数及角向概率分布函数

氢原子和类氢原子核外电子的角向分布函数都是式（3）中的相同的球谐函数[1]

为了方便描述，将角量子数l= 0, 1, 2, 3……的态分别称为s，p，d，f态，处于这些态的电子，依次简称为s，p，d，f……电子。

对r从0→∞积分，可以得到电子在（θ，φ）方向附近立体角dΩ= sinθdθdφ内的概率为：

式（6）为角向概率密度分布函数。表2列出了几个低阶角向波函数和角向概率密度分布函数。

表2 角向波函数和角向概率密度分布函数

1.3 三维空间波函数及概率密度分布函数

氢原子及类氢原子体系在球坐标系的三维空间的波函数为:

式中n= 0, 1, 2, … ;l= 0, 1, 2, … ,n-1; m=0, ±1,±2,… ; ±l。

氢原子及类氢原子核外电子空间概率密度分布函数为：

表3给出了三维空间中体系的几个波函数及概率分布函数。

表3 三维空间氢原子体系的波函数及概率密度分布函数

续表3

2 MATLAB对概率分布的模拟

2.1 氢原子核外径向电子概率分布图

通过MATLAB编程运行得到了n=1, 2, 3；l=0,1, 2的几个氢原子径向分布的图。氢原子电子径向位置概率密度分布的节点数目（不包括原点和无穷远点）有nr=n-l-1个。特别地，基态氢原子和“圆轨道”（即l=n-1)的电子径向位置概率分布没有节点。比如，n=1，l=0，则nr=0，即氢原子径向位置概率分布的节点数为0；n=2，l=0，则nr=1，即氢原子径向位置概率分布的节点数为1；n=3，l=2，则nr=0，即氢原子径向位置概率分布的节点数为1。如图1所示。

图 1 不同状态下氢原子径向概率分布函数曲线

2.2 氢原子核外角向电子概率密度分布图

通过MATLAB编程运行得到了l=0,1,2的几个氢原子径向概率分布的情况，见图2：

1）l=0和m=0时，|Y00|2是一个均匀的球体，如图2（a）所示；2）当l=1，m=0，±1时，|Y10|2由两个均匀等值球体竖直重叠在一起构成，|Y11|2是两个均匀的球体，在水平方向两球对接构成，|Y1-1|2由两个均匀等值球体水平对接在一起构成，如图2（b）所示；3）当l=2，m=0和1时，|Y20|2是两个均匀的球体加一个圆饼状，在竖直方向两球对接与圆饼上下构成；|Y21|2由4个两两均匀等值球体竖直方形对接在一起构成，形成花瓣状，如图2（c）所示；4）当l=2；m=-1和2，|Y2-1|2是4个均匀的球体两两相同，在竖直方向两球对接与构成，形成花瓣状。|Y22|2由4个两两均匀等值球体水平方向对接在一起构成，形成花瓣状，如图2（d）所示。

图 2 不同状态下氢原子及类氢原子核外电子角向概率密度分布图

2.3 三维空间电子概率密度分布

利用MATLAB软件编程绘制了氢原子各状态下空间电子概率分布切片图，切片图上颜色灰度的深浅表示电子几率密度的大小，其中颜色深表示电子几率密度大。从空间几率分布电子云图可以更加直观地看出氢原子电子云的分布情况。作出n=1, 2, 3;l=0, 1, 2;m=0, ±1,±2的核外电子概率分布图的空间电子云图。分析比较，具有如下的特点：

1）当n=1，l=0和m=0时，|W100|2是一个均匀的单锋体，等高线图分布均匀及颜色对比图明显，如图3（a）所示；2）当n=2，l=1，m=0时，|W210|2由一个均匀等值单峰体构成，等高线图分布均匀及颜色对比图有明显的分布情况，如图3（b）所示；3）当n=2，l=1；m=±1时，|W211|2是两个均匀的单峰体构成，在水平方横向两峰对接构成，等高线图线条疏密明显，如图3（c）所示；|W21-1|2由两个均匀等值单峰体水平对接在一起构成；在水平方纵向两峰对接构成，线条疏密分布明显，如图3（d）所示。

图 3 不同状态下氢原子电子空间分布及空间概率分布等高线图

3 氢原子与类氢原子核外电子径向概率密度分布图的对比

3.1 径向概率密度对比图及其分析

由于类氢原子与氢原子核外电子的角向分布函数完全一样，不受质子数Z的影响，它们的概率密度函数完全相同，分布图也完全一样，此处不再呈现。在相同的n,l情况下，氢原子和不同Z值的类氢原子的径向概率密度分布图显示，随着质子数Z值的增大，图形会越来越小，表示电子更靠近原子核，如图4所示。

3.2 概率密度极大值与质子数之间的变化关系图

以rmax表示第1次出现径向概率密度极大值，绘制rmax随质子数Z变化的函数图像。从1s，2s，和3s各个原子态的情况可见，类氢原子径向概率密度极大值rmax随Z值增大而减小，表示核外电子分布随质子数的增加而向原子核靠拢，符合库仑定律的基本要求，结果如图5所示。

图 4 Z=1,2,3,4的氢原子及类氢原子径向概率密度分布对比图

图 5 不同Z值的氢原子及类氢原子rmax-Z图

4 结论

通过整理及MATLAB软件绘图对比分析可知：

1）无论是氢原子体系还是类氢原子体系，相同量子态的角向概率密度分布函数都是一样的；不同量子态电子概率密度的分布不一样，但总体上表现出非常严格的对称性。

2）相同量子数对应的量子态径向概率密度分布相似，但随原子核内质子数Z的增大，概率密度的极大值位置向原子核靠拢，符合库仑定律的基本要求。

[1] 周世勋.量子力学教程[M].北京：高等教育出版社，1979：36．

[2] 杨林. 氢原子电子概率分布可视化及其I 生质研究[J].绥化学院学报，2009（2）：186-188．

[3] 马德明，仇海强，施卫．氢原子电子云分布的可视化分析[J]．西安理工大学学报，2007（2）：149-152．

[4] 赵云芳，周战荣，李育新．氢原子电子云的计算和可视化分析[J]．大学物理，2009（9）：51-54．

[5] 郭仕恒，许庆陵，王东耀，苏育志，张建华.基于MATLAB的球谐函数M函数库[J].广州大学化学化工学院学报，2011（10）：1-2.

[6] 宫建平.氢原子的概率密度分布[J].晋中学院学报，2015（3）：10-15.

[7] 陆云清，刘洋，邓玲玲.氢原子电子云空间分布的可视化[J].南京邮电大学学报，2009（5）：8-23.

[8] 张建华，苏育志，宋建华，郭海燕.用 origln6.0 绘制波函数平面图形[J].计算机与应用化学，2003（4）：467-470.

[9] 李金海，方恒忠，李子良.氢原子电子云密度分布分析[J].大学物理，2004（3）：13-17.

[10]刘建军，高峰，华厚玉.氢原子波函数三维空间分布在MATLAB 中的实现[J].淮北煤炭师范学院学报，2004（4）：31-33.

[11]邓明森.基于计算机仿真技术的氢原子电子云图模型[J].贵州教育学院学报：自然科学，2005（2）：35-37.

[12]赵旭光，刘晓军.用MATLAB获得氢原子的电子云图像[J].齐齐哈尔大学学报，2006（5）：98-100.

[13]王向贤，蔡志刚，许明坤.类氢原子径向波函数数字化教学软件[J].巢湖学院学报，2010（6）：124-127.

[14]郭振华.类氢原子中电子椭圆轨道量子化的一个简化推导[J].宝鸡文理学院学报，1997（12）：46-53.