分运动独立的条件和理论基础

2017-03-03 03:08王远征
物理通报 2017年3期
关键词:摆线初速度烟台

王远征

(山东省烟台第二中学 山东 烟台 264000)

分运动独立的条件和理论基础

王远征

(山东省烟台第二中学 山东 烟台 264000)

以微分方程的可加性为基础,论述了分运动独立与否的条件是——合运动的动力学方程可以写成两个分运动的动力学方程之和,为用运动的分解与合成解决复杂的运动指明了理论基础.

分运动的独立性 运动的分解与合成 微分方程的可加性

在研究复杂运动的时候,时常会出现两个分运动相互独立的现象,即:一个分运动的改变并不影响另一个分运动的快慢,于是,有人就得出了“运动的独立性原理”的说法.而实际上,分运动的独立性是有条件的,分运动不独立的现象比比皆是.

【例1】一个小球以水平的初速度v0抛出,其受到的空气阻力和速度的平方成正比,试求该小球在水平和竖直两个方向的运动情况.

分析:物体的动力学方程为

在x方向上,满足的方程为

(1)

同时在y方向上,满足的方程为

(2)

无论我们将两个方程施加何种运算,既不能在方程(1)中消掉vy,也不能在方程(2)中消掉vx,这说明,两个分运动就不是独立的.故而,运动的独立性原理不是一个真正的有普遍意义上的规律.

但是,如果两个分运动要是独立的话,就可以先分别研究出两个分运动的情况,进而求出合运动的情况,不光是我们处理复杂运动的重要手段,而且确实可以使解题过程大为简化,特别是在中学阶段,这几乎是处理复杂运动问题的唯一手段.

【例2】如图1所示,在匀强磁场中由静止释放一个带正电的微粒,证明它的运动轨迹是摆线.

图1 磁场中静止释放正电荷的运动轨迹

分析:微粒的初速度是零,我们将运动是零的状态看作是向左速度v0和向右速度也是v0的两个运动的叠加,并设定v0的大小满足

qv0×B=mg

所以,向右的运动是以v0为初速度的匀速直线运动,向左的运动因为只受洛伦兹力的作用,因而做匀速圆周运动.而这两个分运动的合运动正好组成摆线运动.

我们刚才的计算,就建立在两个分运动的独立性之上.现在,关键的问题是,我们怎么知道这两个分运动是独立的呢?我们的处理方法一定是正确的呢?答案非常简单:我们分别列出两个分运动的动力学方程为

qv0×B+mg=0

(3)

(4)

式中v1代表初速度向左的分运动的速度.而合运动的动力学方程一定可以写成如下的形式

(5)

一般的,如果一个运动的动力学方程可以写成两个独立的运动方程之和.则两个分方程解的和就是总方程的解——即两个分方程描述了两个分运动,总方程就描述了物体的合运动.

有了这样的认识,我们在用运动的合成与分解处理复杂的运动时,就不再是仅凭着感觉和臆测,而是有了严密的根据.

2016-11-15)

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