力学模型
——隔振和减振材料设计指南

李汉堂 编译

(曙光橡胶工业研究设计院，广西 桂林 541004)

0 前 言

关于隔振和减振问题，过去和现在的日本橡胶协会杂志上都刊登了大量的研究报告。特别是关于隔振问题，在有关专辑或技术论文中对隔振橡胶的动态性能、形状设计、材料设计、设计方法和配方作了多方面的报道。

从上世纪开始，汽车生产厂家对消除车内噪声寻求解决方法，家用电器制造商对降低洗衣机的噪声也在寻求解决方法，他们和日本机械协会积极开展有关隔振和减振的研究。在建筑行业居住环境成为评价的对象，把解决由高层建筑横向风产生的振动、交通噪声、生活噪声和固体传播噪声等问题作为研究课题，开展了有关振动和噪声的研究。

对于隔振与减振之间差异，有一些学者认为只要提高材料的tan δ就可以了。如果参考有关文献，虽然可以获取许多有关隔振和减振方面的知识，但有关直接用力学模型弄清楚隔振与减振的差异，通过力学模型来指导材料设计的文献却很少很少。

为了减小隔振支座的传递率，文中通过力学模型阐述了对隔振橡胶提出的特性要求和实际使用的隔振橡胶的动态性能。一方面，关于减振问题，文中用单纯的力学模型展示了衰减振动的机理，弄清了仅提高隔振材料的损耗系数，也不能使经过减振处理后，损耗系数得以提高的原因。此外，还论证了用橡胶对钢板进行减振处理后的损耗系数。

1 隔振支座模型

隔振支座的功能有两种：（a）不让发动机等之类的机械设备产生的激振力传递到设备的基础上；（b）不让设备基础的变位振动传递到精密仪器上。如果设机器的质量为m；隔振橡胶的复数动态刚度为K*，则这两者的力学模型见图1（a）和（b）所示，据此，可以定义其力的传递率和移位的传递率。如表1所示，两种模型表示稳定振动的方程式、固定解、复数振幅以及传递率的定义各不相同，但各模型的传递率却可用同一方程式求得。通常，可用这种传递率来评价隔振效果。

图1 隔振支座模型

表1 传递率

K*为复数刚度（K*=βE*；E*=E'+iE''复数弹性模量）；E'为储能弹性模量；E''为损耗弹性模量；β为与隔振橡胶的形状、尺寸和变形形式有关的系数（如果隔振橡胶的变形量小，则可以将上述系数当作常数处理）。ω为强制振动时的频率；ω0为隔振支座的固有频率。另外，复数刚度的实线和虚线分别称为储能刚度和损耗刚度，分别用符号K'和K''表示，可写成K'=βE'和K''=βE''。另外，l≡tanδ=E''/E′=K''/K'。

实际上，相对于频率来说，隔振橡胶的动态性能并不是固定的，它与频率有相关性，所以要定性的话，可写成：

求取传递率的公式可以写成下式：

上式的E0'为ω0中的动态弹性模量，ω0则为隔振支座的固有频率，可用下式表示：

通常，在橡胶状区域，E'(ω)为频率的增函数，所以式（2）中的E0'/E'(ω)项成了阻碍传递率下降（伴随着频率增大）的原因。

隔振支座在设备常用频率范围内可将传递率控制在1以下，这就是隔振的目的所在。众所周知，如果E'(ω)=E0'，则隔振的频率范围为隔振支座固有频率的倍以上的频率范围。通常，固有频率ω0可设定为能绝缘振动频率范围的下限ωL的1/2.5～1/3。因此，可以设定隔振支座的固有频率，如果能给出隔振橡胶的动态性能，那么可以用式（2）评价隔振效果。

1.1 橡胶的黏弹性模型和动态模量

橡胶的黏性和弹性可减小振动的传递率，所以可利用之。下文就橡胶（隔振橡胶）的力学模型及其弹性模量加以阐述。

比较简单的2元、3元黏弹性体力学模型示于图2。弹簧与减振器并联的模型2（a）被称为伏杰特（Voigt）模型。在讨论隔振体系的传递率时，这种模型是最基本的一种，是产生弹性应力Eeε（弹簧与应变ε成正比）和粘性应力ηε3（减振器与应变速率成正比）的模型。可用这些应力的总和表示总应力。因此，该模型的运动方程式可写成下式：

图2 黏弹性体的力学模型

如果如式（6）那样，用复数变量表示谐波应变，则相对应的应力σ*可由式（5）给出下式：

通常，复数弹性模量E*可用式（8）定义，它是频率的函数。如果使用的是伏杰特（Voigt）模型，则复数弹性模量E*可用式（9）和式（10）求得。

式中：τ=η/Ee被称为延迟时间，是对步进式应力响应的应变延迟的量度；储能弹性模量E'=Ee,为恒定值；损耗系数l≡tanδ=τω，与频率成比例地增大。

图2（b）为可定性表示未交联或非交联型黏弹性体的黏弹特性的力学模型，称为麦克斯韦尔（Maxwell）模型。由于该模型是以串联的形式连接弹簧和减振器的，所以模型的应力σ等于由弹簧的应变εe产生的应力Euεe，和由减振器的应变速率ε3u产生的应力ηε3u，可用弹簧的应变εe和减振器的应变εu总和来表示模型的应变ε。用应变速率项列出运动方程式：

式中：与伏杰特（Voigt）模型一样，如果由式（6）求出谐波应变，则应力可假设为σ*(t)=，运动方程式（11）可改写成下式（12）：

因此，根据式（8），复数弹性模量可用下式表示：

式中：τuη/Eu为相对于步进应变的应力松弛的量度，所以可称为松弛时间。在麦克斯韦尔（Maxwell）模型中，频率为0时的弹性模量也为0，所以它不能承载静负荷。因此，将它作为隔振支座的力学模型是不合适的。如果将几个麦克斯韦尔（Maxwell）模型并联起来，则可表现出用作阻尼器工作流体的硅油等黏性液体的动态性能。然而，麦克斯韦尔（Maxwell）模型的损耗系数为l(ω)=l/(τuω)，所以它相对于频率呈双曲线状减小，并逐渐接近于0。

图2（c）与（a）一样，是可定性表示交联黏弹性体特性的三元模型。该力学模型是将麦克斯韦尔（Maxwell）模型与弹性元件弹簧并联的模型，所以其复数弹性模量可用下式计算：

根据式（14），储能弹性模量E'(ω)、损耗弹性模量E''(ω)和损耗系数l(ω)可分别用下式计算：

相对于各模型的无因次频率ωτ或ωτu的无因次动态弹性模量E'(ω)/Ee、E''(ω)/Ee和损耗系数l(ω)=tanδ(ω)的频率特性示于图3。虽然伏杰特（Voigt）模型的储能弹性模量不会随着频率的增加而增大，但损耗弹性模量却呈线性增加。虽然三元模型可定性地表示硫化橡胶在3个区域（橡胶态、玻璃化转移状态和玻璃化态）的行为，但用作隔振橡胶的是橡胶态区域。在橡胶态下的储能弹性模量不会随着频率的增加而增大，而损耗弹性模量却呈线性增大。实际上，三元模型的动态性能的第一次近似为：

图3 力学模型的动态特性

所以，它与伏杰特（Voigt）模型的行为是一致的。因而，作为表征橡胶态动态弹性模量频率特性的力学模型，看来在表征伏杰特（Voigt）模型的动态弹性模量方面是非常完美的。然而，实际情况是在橡胶态下储能弹性模量会随着频率的增加而表现出增大的趋势。因此，如果用于模拟隔振支座的传递率，则需将伏杰特（Voigt）模型的动态性能作如下修正：

要定性分析对隔振材料的要求，采用上述公式已足够了。为了表征实际聚合物从橡胶态过渡到玻璃化态的宽域频率范围内的特性，可采用下式分数等级的微分模型：

式中：Dα1，（i=1,2）用αi级微分计算。

分数等级微分模型的动态弹性模量为：

实际上，对于丙烯酸酯橡胶（ACM）、二烯类橡胶（IR、CR、BR）和β硅凝胶来说，如果适当选择参数，则可以在宽域的频率范围内表征它们的动态模量。作为其中的一例，图4中示出了ACM（Nipool AR31）的动态特性。图4的横轴表示换算频率fàT、aT（移动因子）；图4（a）、（b）的纵轴表示换算动态剪切模量G'/βT、G''/βT，βT为通过测温获得的熵弹性修正系数。

图4 ACM的动态特性和采用分数级微分模型的表征

2 隔振支座的传递率

下文将研究动态性能的频率特性对传递率的影响。

2.1 损耗系数特性的影响

在储能弹性模量与频率无关的情况下，由于式（21）中的α为0，所以传递率方程式（2）中的E'0/E'(ω)=1，式（23）中的损耗系数l(ω)变更为：

上式中，ω/ω0为无因次频率；τω0为衰减系数。图5（a）中用实线表示所求得的传递率。隔振支座固有频率在以上的振动频率范围内，可以实现隔振，在其以下则为共振领域。当机器起动和停止工作时，在必须通过的共振领域，虽然可以控制衰减系数越大，传递率越低这一现象，但在隔振领域恰恰相反，衰减系数越小，隔振效果越大，而且在损耗系数与频率的相关性小的隔振区域传递率受到了小小的抑制。通常，将抑制共振称为减振，而对于隔振来说，减振和隔振这两方面缺一不可，减振和隔振所需的衰减特性却与之相反。因此，可以认为，把损耗系数l(ω)作为频率（线性）的增大函数，将会增大隔振领域的传递率。实际上，损耗系数与频率无关。例如l0=0.5，则如图5（a）的虚线所示，共振领域的传递率，跟与频率有关的衰减系数τω0=0.5时的传递率大体上相同，只不过将隔振领域的传递率被抑制得更小。

防振是兼具减振和隔振的体系，所以作为防振材料，最理想的是损耗系数要大，与频率的相关性要极小。

图5 隔振橡胶支座的传递率

2.2 损耗系数和储能弹性模量的影响

在研究损耗系数特性l(ω)和储能弹性模量特性E'(ω)对传递率的影响时，要考虑它们的组合因素：（1）E'(ω)=Ee，l(ω)=l0；（2）E'(ω)=Ee，l(ω)=τω；（3）E'(ω)=Ee+αω，l(ω)=l0；（4）E'(ω)=Ee+αω，l(ω)=τω。关于（1）和（2），由于前面的章节已有讨论，所以可以此为基准，对（3）、（4）的情况进行对比后发现，储能弹性模量对频率特性会有所影响。如果选择了各个参数，使固有频率的传递率相同，则如图5（b）所示那样，隔振领域的下限频率为隔振支座固有频率的倍以上时，传递率增大，隔振效果下降。这是传递率方程式（2）中的E'/E'(ω)项减小，导致隔振效果下降的原因之一。

为了尽量减小作为目标值的频率ωα≤ω区域里的传递率，选择前项倒数E'(ωα)/E'小的聚合物和进行适当的配方设计是很重要的。如果考虑把共振频率以下的情况也包括在内，则减小与静态剪切弹性模量E's的比例，即动态放大率E'(ωα)/E's，也很重要。

选择橡胶或进行配方设计的指导性意见之一是，加大在隔振支座固有频率ω0条件下的损耗系数l0=l(ω0)，减小动态放大率E'(ωα)/E'。

加之，储能弹性模量和由负载产生的静挠度χst与固有频率有关联。如果忽略对频率的依赖关系，那么，固有频率确定后，静挠度也必然固定下来。

式中：g为重力加速度。还有，假设固有频率为15 Hz, 则静挠度就固定在约1.1 mm左右。

以隔振支座作为实例，如果选用固有频率为10 Hz的ACM，则其传递率如图6的实线所示。与虚线所示的理想状况（损耗系数和储能弹性模量不变）相比，显然ACM动态性能与频率的相关性提高了传递率。

图6 ACM隔振支座的传递率

3 减 振

横梁和平板等部分结构件（以下称为构件）由于外力作用，产生了表面外（弯曲）的共振往往会成为噪声源。为抑制这种共振而采用的黏弹性材料通常称为减振材料。减振材料随着被弯曲而产生的基本变形，主要包括了伴随着伸缩产生的弯曲变形和剪切变形。图7为经减振处理后的构件承受弯曲变形时的显微断面图。图中的阴影部分为减振材料，其他为构件的显微部分。图7（a）为减振材料的自由表面受到拉伸，粘合面承受压缩后产生的伸缩弯曲变形情况；图7（b）所示为由于含有约束层，所以其表面的自由变形受到约束，主要产生剪切变形时的情况。前者为非约束式减振处理；后者则称为约束式减振处理。对衰减的评价结果，因减振处理方法的不同而有很大的差异。这里，以较简单的非约束式减振处理为例，说明减振材料的特性如何才能在被处理构件的特性上反映出来。

图7 经减振处理的横梁的弯曲变形

3.1 非约束式减振的机理

减振处理是将减振材料平行地粘贴在构件上，所以可直接计算出刚度。从整体上看减振处理，则如图8所示，刚度为k1的构件与复数动态刚度为k*2=k2(1+iη2)的减振材料并联结合，所以经减振处理的构件的动态刚度k*由下式给出：

由于储能刚度为k1+k2, 损耗刚度为k2η2，所以损耗系数η(=l)由下式计算：

经减振处理的构件的损耗系数η跟减振材料的损耗系数η2和刚性比（k1/k2）有关联。为了获得大的η，要求减振材料要具有高的弹性模量和大损耗系数，因此，在设计时要使减振构件的共振频率位于减振材料的转移区域（损耗系数最大）内。

图8 经减振处理的横梁的弯曲刚度等效模型

如果设作用于横梁或平板构件上的外力为F0eiωt，等效质量为m, 变位为x, 则其运动与表1的力学模型（a）相对应, 稳态振动的振幅X为：

考虑到减振材料复数动态刚度与频率的相关性K*(ω)=k1+k2(ω)[1+iη2(ω)]，采用k'(ω)=k1+k2(ω)，则振幅方程式（32）可改写成下式：

式中：

式中的ω0(ω)、xst(ω)和η(ω)分别由如下方程式给出：

减振支座的使用温度为减振材料的玻璃化转变温度，希望把损耗系数设计在η(ω)最大时的频率ωg（接近ω0）附近。为了使其效果在ωg的附近不降低，有必要增大减振材料的储能刚度k2(ωg)，减小对频率的依赖性。前者可以增大减振材料的形状系数，这在理论上是可能的，但并不希望成倍增加减振支座的厚度，因此，如果减振材料的储能弹性模量不大，则不适合用作减振材料。

3.2 Oberst横梁

经过减振处理的非约束式横梁（复合横梁）称为Oberst横梁，是减振处理的原型。承受弯曲变形的Oberst横梁如图9（a）所示。图中的影线部分为复数弹性模量E*、厚度为t的减振材料；影线部分以下为弹性模量E、厚度为h减振处理前的横梁（减振对象）。如果横梁产生变形，则上表面被伸长，下表面被压缩，在其中间形成非伸缩面，在某处还有中性面，图9中用点划线表示。在具有矩形横断面的单件横梁中，其中性面明显处于h/2处，而在复合横梁中，其中性面处于横断面的总应力为0的位置。假设中性面处于与横梁上表面距离为mh的位置，如果像图9（a）那样绘制座标，则应力可用下式表示：

如果对其进行积分，则可用下式求取m：

式中：n=t/h；e=ξ(E*/E)；E*=Eu(1+iηu) 。

图9 Oberst横梁的弯曲变形

此处用弯曲刚度取代弹簧常数。复合横梁的弯曲刚度（EI）*用横梁的弯曲刚度与减振材料的弯曲刚度的总和表示。

如果通过积分，将式（37）代入m, 设I=bh3/12, 则：

式（38）的实部为单件的弯曲刚度与减振材料的弯曲刚度的总和，所以与式（30）相对应。另外，损耗系数是用式（38）的实部除以虚部所得的值，所以，它与式（31）相对应，最终得到下式：

减振材料的厚度比与弹性模量比的关系相当复杂。与Oberst横梁厚度比（n=t/h）相对应的损耗系数比（η/ηu）和弯曲刚度比分别示于图10。如果仅仅加大减振材料的损耗系数，则不能使非约束式减振型材料（Oberst横梁）也具有大的损耗系数，必须同时加大与减振对象的杨氏模量相对应的储能弹性模量比Eu/E。如果加大Eu/E，则既可提高弯曲刚度，又可提高固有频率。

如果采用ACM作为减振材料，则在约1 kHz附近损耗系数的最大值约为2.2；假如减振对象的材质是钢，由于弹性模量比e≈3×3.8 MPa/200 GPa约为5.7×10-4，假如ACM的厚度不到钢板厚度的10倍以上，则根据图10可以容易地推断出不能获得减振效果。ACM的tanδ虽然大，但由于储能弹性模量低，所以如果是实用的厚度n≤1，则仍不能期望获得减振效果。

图10 与Oberst横梁的损耗系数比和弯曲刚度比相对应的厚度的变化

4 材料设计指南

安装隔振支座的主要目的是绝缘振动，因此，如果存在着可以尽可能支撑振动体的静态模量，则损耗系数要尽量减小。由于安装了隔振支座而必然要产生固有频率，而且又必须通过它。所以在固有频率附近的损耗系数尽可能大。这样一来，似乎对隔振材料损耗系数的要求是相反的。实际上，从许多橡胶的黏弹特性来看，损耗系数与频率的关系为增函数关系，所以，这一要求是相互矛盾的。为此，在隔振橡胶的设计中，要尽可能地减小动态性能与频率的相关性。从力学模型的角度看隔振材料的设计目标，应该是降低储能弹性模量和损耗系数与频率的相关性。如果能把频率减小函数的特性赋予损耗系数，则没有必要采用具有复杂结构的液体密封装置。另外，使用隔振材料的目的是抑制减振对象的共振，因此要求隔振材料要有大损耗系数，同时必须具有高的储能弹性模量。仅损耗系数大的高分子材料不能说是良好的隔振材料。对于隔振材料来说，必须要具有接近隔振支座弹性模量值的储能弹性模量。

5 结 语

谈到“隔振和减振”问题，在如何对待它时有时会带来误解。文中用力学模型阐明了隔振与减振在本质上的不同，从力学的角度介绍了对隔振材料和减振材料所要求的频率特性。虽然文中还没有触及到隔振材料和减振材料的温度特性对隔振和减振特性的影响，但如果频率温度换算法则是成立的，则很容易就能推测出它的影响。

[1]佐藤美洋. 力学モデルを用いた防振·制振材料设计の指针[J]. 日本ゴム協会誌, 2016（08）: 241-248.