试论问题表征在数学问题解决中的重要性

首都师范大学数学科学学院(100048) 覃淋

试论问题表征在数学问题解决中的重要性

首都师范大学数学科学学院(100048) 覃淋

问题解决是数学教育研究的热点问题之一,数学问题解决主要表现为解题.数学问题解决的认知过程包括四个阶段：问题表征、模式识别、解题迁移和解题监控.其中问题表征是中心环节,问题表征的正确与否直接影响问题的解决;同时,如果问题表征不当,也会极大地影响数学问题的解决.

一、引言

美国数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos)认为,“问题是数学的心脏”[1].实际上,数学学习的过程实质上就是一个问题解决的过程.在数学里,问题解决(problem solving)主要表现为解题.问题解决是目前数学教育研究的一个热点问题,也是数学教育研究的核心问题之一.所谓问题解决,就是指在具有明确目标却不明确达到目标的途径或方法的情况下,经过一系列具有目标指引性的认知操作,使问题得以解决的心理过程.

安德森(J.R.Anderson)认为,任何一个问题解决都具有以下3个特点[2]：(1)目标指引性,是指为问题找到一个答案或结论;(2)操作序列,是指任何一个问题解决活动必须包含一系列的认知活动;(3)认知性操作,是指问题解决活动必须具有重要的认知成分.问题解决作为一个活动,包含了若干个步骤.即为了完成这个活动,要经过一系列的步骤,称之为问题解决过程.文献[3]总结了从传统问题解决模式到现代认知心理学派几乎所有的问题解决模式的观点.许多数学教育家也提出了一些数学问题解决模式,比较有影响的有以下3种：

1.波利亚在《怎样解题》一书中提出了著名的“怎样解题表”,把解题过程分为弄清问题、拟定计划、实现计划和解题回顾;

2.奥加涅相在其著作《中小学数学教学法》中将解题过程分为理解问题条件、制定解题计划、实施解题计划和研究所得;

3.舍费尔得(A.schoenfeld)把数学问题解决过程分为问题的理解与分析、解决方案的设计、困难问题解法的探索和结果验证.

从以上这些问题解决模式理论中,不难看出,要解决一个数学问题,首先就是要对需要解决的问题进行表征(problem representation).所谓表征,就是指信息在头脑中的呈现形式[4].美国认知心理学家西蒙(H.A.Simon)认为,“问题表征是问题解决的一个中心环节,它说明了问题在头脑中是如何呈现、如何表现出来的”[4].在数学解题中,问题表征实际上就是理解并转化问题,就是说对一个数学问题,要用自己的语言将它陈述出来,并通过对问题的陈述将问题进行适当的转化.要想解决一个数学问题,就必须正确地恰当地表征问题.“如果一个问题得到了正确地表征,可以说它已解决了一半”[4].因此,很有必要对问题解决过程中问题表征的作用进行分析.

在数学问题表征中,我们认为存在着以下几种情况：

(1)错误的表征问题,主要表现为未能正确的理解题意和理解了题意但进行了不等价的转化;

(2)问题表征不当,是指在正确的理解了题意的情况下,对问题进行了不恰当的转化,使得转化后的问题变得更复杂.在此情形下可能导致以下2种情况,一是我们未能解决问题;二是问题解决过程繁杂、计算量大等;

(3)问题表征的多样性,即对同一问题存在着多种表征形式,从而导致问题可能存在着不同的解决方法.

二、问题表征的重要性

一般而言,在数学问题解决的过程中,最受重视的是“制定解题计划”阶段.实际上,最重要的应该是“问题表征”阶段,它是最终解决问题的前提和基础.解决任何一个问题,第一步都是读题并理解题意,理解题意的一个重要标准就是一个人能否用自己的语言将问题进行陈述,并通过对问题的陈述产生关于问题的一个表征.而如果对问题进行了错误或是不恰当的表征,就像在岔路口走错了路,必然会离目标越来越远.

表面上看,学生不会解题,是在“制定计划”阶段上出了问题,实质上是没有正确理解题意,没有在理解题意是下功夫[5].有数学家说过,善于解题的人用一半的时间来理解题意,另一半的时间来完成解答.

1.错误的表征问题

例1 已知a,b是任意实数,求方程|x|x+ax-b=0实根个数.

常见的错误解法分别考虑x≥0与x＜0情形,去掉绝对值符号.

1)当x≥0时,得到x2+ax-b=0,于是有,a2+4b＞0时,有两个实根;a2+4b=0时,有一个实根;a2+4b＜0时,无实根.

2)当x＜0时,得到x2-ax+b=0,于是有,a2-4b＞0时,有两个实根;a2-4b=0时,有一个实根;a2-4b＜0时,无实根.

分析上述解法虽然对问题进行了“表征”,即将一个含有绝对值符号的二次方程转化为不含绝对值符号的方程.但是,这反而远离了题意,并没有通过参量a,b来讨论方程的实根个数,反而是不正确的就x,a,b三者之间的关系来分别讨论.实际上,方程x2+ax-b=0(x＞0)在a2+4b＞0时未必就有两个实根.比如取a=0,b=1,此时方程变为x2-1=0,得到x=±1.但只有x=1满足条件.所以该解法是错误的,主要就是由于对问题进行了错误的表征,从而导致问题无法解决.

正确的解法我们利用数形结合来解,令f(x)=|x|x+ax,g(x)=b,此时就已经将问题转化为两个函数的交点问题了.即二者交点的个数就是方程的实根个数,同时由于f(x)是奇函数,只要讨论x≥0的情形即可,分a=0,a＞0,a＜0进行讨论,如图作出f(x)=|x|x+ax的函数图像.

图1

图2

结合函数图像进行分析,可以得到本题结果：

(1)当a≥0时,有1个交点,即有一个实根;

(2)当a＜0时,讨论b的情况,当时,有1个交点;当时,有2个交点;当时,有3个交点.

图3

2 问题表征不当

由于对同一问题不同个体可能会产生不同的表征,在这若干不同的表征中,可能某一种表征方式比其它表征方式更为有效.而不同的表征方式会激活长时记忆中不同的知识和程序[4],必然会影响到问题解决的结果.在问题表征不当的情况下,我们可能不能解决某个数学问题,或者解决该问题时,过程显得十分的繁杂,没有体现数学的简洁美.

2.1 问题表征不当—无法解决问题

例2 已知a1,a2,···,an为实数,若它们之中任意两数之和非负,对于满足等式x1+x2+···+xn=1的任意非负实数x1,x2,···,xn有不等式a1x1+a2x2+···+anxn≥成立,请证明.

分析大多数学生一看到此题,首先想到的是利用数学归纳法.从数学归纳法可以证明关于自然数n的命题出发,试图通过数学归纳法来证明,结果利用数学归纳法的解决此题的,几乎无人得出正确结果.实际上,本题可以先考虑简单的情况下问题的解决方法,然后再推广到一般.当n=3时,即证明

再利用x1+x2+x3=1,上式变为

由此,可以得到问题的解决方法.由

可将原不等式变为

不等式得证.

2.2 问题表征不当—解题过程繁杂

例3 已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实根α,β.证明：若|α|＜2,|β|＜2,则2|a|＜4+b且|b|＜4.

解由根与系数的关系,得α+β=-a,αβ=b,那么

由于|α|＜2,|β|＜2,故|b|=|α||β|＜2×2=4.且α2＜4,β2＜4.因此,(4+b)2-4a2=(4-α2)(4-β2)＞0,此即(4+b)2＞4a2,再4+b＞0,故2|a|＜4+b.综上所述,命题得证.

另解由根与系数的关系,得|b|=|α||β|＜2×2=4.令f(x)=x2+ax+b,由于方程的两根绝对值都小于2,结合图像可知f(±2)＞0,此即4±2a+b＞0,整理得2|a|＜4+b.

若此题不结合图像来解决,而仅仅依靠根与系数的关系来解,是比较复杂的.后面的解法显然比前一解法更易理解,直观性更强,学生也更容易接受.

对一个问题的正确表征是解决该问题的前提.如果对问题进行了不恰当的表征,我们很可能不能解决问题.因此,在解题活动中,正确理解题意,然后进行适当的转化,是非常重要的.

3 问题表征的多样性

对于同一个数学问题,不同的人由于其不同的知识经验.学习者在问题解决的过程中,必然会以已有的经验为基础.每一形式的表征依赖于个体不同的知识经验,而且可以引出不同的知识和策略,导致产生不同的解法[5].从不同角度来思考同一问题,不仅能培养学生的发散思维,更可以激发学生对数学的兴趣.

例4 计算sin72°cos42°-sin18°sin42°的值.

看到此题时,有学生想到的是两角差的正弦公式,而有的学生想到的是两角和的余弦公式.对问题的不同表征,决定了他们会采取不同的解决方案,但最后结果都是相同的.

此外,问题表征还有一种重要的情况就是“正难则反”,在具体的数学解题中,表现为反证法,逆向思维等.例如,

例设f(x)是一个整系数多项式.证明：若f(0)和f(1)都是奇数,那么f(x)没有整数根.

这个问题若从正面出发,是很难解决的.假设f(x)有一个整数根,我们记为a,则f(x)=(x-a)g(x).则f(0)=(-a)g(0),f(1)=(1-a)g(1),这里-a和1-a中必有一个是偶数,而f(0)和f(1)都是奇数.这是一个矛盾,问题得到解决.

三、讨论

可以看出,问题表征在问题解决中的重要性,问题表征的正确与否,会直接影响到我们能否顺利的解决问题.“问题的解决往往取决于问题解决者在问题情境中问题表征的能力”[2],“我们能不能解决问题就在于我们大脑内部能否产生正确的表征”[4].著名的“国际象棋棋盘残缺问题”同样说明了正确而恰当地表征问题的重要性,可以说,正确的表征问题就意味着解决问题.这就要求我们教师在实际的解题教学过程中,要充分强调理解题意的重要性,很多时候,学生不能正确解决问题,很可能就是在“问题表征”环节时出现了错误.

总之,在整个的数学问题解决过程中,问题表征是最重要的一个环节.一个数学问题能否被解决,取决于该问题是否被正确的表征,对数学问题的表征决定着我们所选择的问题解决方案,也就决定着解答结果的正确与否.

[1]哈尔莫斯.数学的心脏[J].数学通报,1982,(4)：27-31.

[2]J.R安德森著,杨清,张述祖等译.认知心理学[M].长春：吉林教育出版社,1989.

[3]李伯黍,燕国材.教育心理学[M].上海：华东师范大学出版社,2010,第3版.

[4]司马贺著,荆其诚,张厚粲译.人类的认知—思维的信息加工理论[M].北京：科学出版社,1986.

[5]涂荣豹.数学解题的有意义学习[J].数学教育学报,2001,10(4)：15-20.