一道模拟试题的解法分析及推广应用

广州市花都区新华中学(510800) 李桃

一道模拟试题的解法分析及推广应用

广州市花都区新华中学(510800) 李桃

题目1 (2017届高三广州模拟考试16题)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,2cosC+c=2b,则△ABC的周长的取值范围是____.

答案：

该题作为这份试卷的客观题压轴题,正答率极低.翻查一些优生的答卷,(2,3]是较常见的答案.同时,笔者发现该题改编于琼海市2013届高考模拟试题16题：

题目2 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,2cosC+c=2b,则△ABC的周长的取值范围是____.答案：(2,3]

一、错解分析

解法1 角化边,基本不等式求最值

根据三角形两边之和大于第三边可得b+c＞a=1,则周长a+b+c＞2.利用余弦定理,将2cosC+c=2b化简,可得b2+c2-bc=1,即(b+c)2-3bc=1.由于解得b+c≤2(当b=c时取等号),则周长a+b+c≤3,故周长的取值范围为(2,3].

错因分析锐角三角形限制边b,c有其最小值,所以周长最小值不可能为2.

解法2 边化角,函数的思想求值域

错因分析角B的范围界定错误,导致周长的范围扩大.因为角A=60°及△ABC是锐角三角形,则所以因此周长的取值范围为

二、优法展示

分析△ABC的内角A的度数及对边是固定不变的,但是点A的位置却是变化的,这个特征在圆中可以实现.同弧(同弦同一侧)所对的圆周角相等.

对于题2,如图1所示,其中点P是优弧BC的中点,点A在优弧BC上运动时,角的度数始终是不变的,满足题目要求.当点A从无限接近点C的位置开始逆时针方向运动时,△ABC的周长从2(但不等于2)开始增加,当点A运动到点P时,△ABC为等腰三角形(b=c),周长达到最大值3,点A继续从点P运动到点B时,“反向”重复刚才的变化过程,因此△ABC的周长的取值范围是(2,3].

图1

对于题1,如图2,其中∠A1CB=∠A2BC=90°,点P是优弧BC的中点.那么点A在弧A1A2上运动时(不包含A1,A2),满足题目△ABC是锐角三角形的要求.当点A在A1或A2时,周长是最小值同样是当点A运动到点P时,周长达到最大值3,因此锐角△ABC周长的取值范围为

图2

点评图形揭示很直观,解题也很简便.华罗庚先生有言“形缺数时难入微”.毕竟,图形有时也会欺骗我们的眼睛,“以理服人”是数学的精髓.笔者做出以下的论证：

综上所述,我们可以确定,题1、题2的直观分析都是正确的.

三、应用

题目3 (2014年全国1卷理16)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为____.

解析由a=2且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,即

题目3变式在锐角△ABC中,A=60°,BC=2,则△ABC面积的取值范围为____.

点评解法一运算量很大,解法二直观简便.

四、小结

在“△ABC的角A及其对边a确定”这一问题情境下,我们可以用函数y=f(B)分别表示b+c,b-c,bc,b2+c2.用三角函数的知识可以论证,函数y=f(B)在B∈都是严格单调的.具体的结论,借助圆的直观分析,就能一目了然.

综上所述,在客观题中遇到以上4类问题,教师可以指导学生放心地借助圆来直观分析.尤其是当三角形的形状有限制时,借助圆来直观分析更是事半功倍.