经历过程——数学教学的应然状态

曹志园

【摘要】学生是学习的主体，教学要基于学生认知的逻辑起点和现实起点，让“教”始终围绕“学”来开展。注重问题引领、挖掘数学因子、探寻知识内核，突出实践运用，充分经历“探索化”“自主化”“本质化”“结构化”的过程应成为数学教学的应然状态，让学生真正经历知识的形成过程，促进认知结构的发展。

【关键词】数学教学经历过程 探索化 自主化 本质化 结构化

建构主义认为，儿童是在与周围环境互相作用的过程中，逐步建构起关于外部世界的知识，从而使自身认知结构得到发展。美国心理学家罗杰斯指出：教学不是用于从外部控制人的行为，而应该用于创造各种能促进人的独立自主和自由学习的条件。由此可见，学生应该是学习的主体，教师、教材、环境等都是客体，也就是为学生的学而服务，是学生主动学习的外部支撑条件。教学要基于学生认知的逻辑起点和现实起点，让学生充分经历数学的学习过程，真正经历知识的形成过程，促进认知结构的发展。

一、注重问题引领——充分经历“探索化”过程

问题是数学的心脏。任务驱动下的问题解决，是培养学生数学思维品质、提升数学素养的基本途径。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生的体验与理解、思考与探索。教学中，问题的提出要处于学生的最近发展区内，有效引领学生的学习活动，引发学生的思考与探索，使其充分经历数学的学习过程。

如，“加法交换律”是数学计算的法则之一，是小学阶段系统学习运算律的起始。然而，学生的现实认知起点告诉我们，因为自身的生活经验和低年级“数的分成”的学习，学生对加法交换律已有了较为直观和零散的认识，如，“5可以分成2和3，5也可以分成3和2”。课堂教学主要是通过抽象概括，逐步建立a+b=b+a的数学模型，使学生对运算律的认识由感性逐步发展到理性。苏霍姆林斯基曾说过：在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己成为一个发现者、研究者、探索者。在进行“加法交换律”教学之后，学生在内心深入会自然发问“有无减法交换律”“乘法交换律”“除法交换律”呢？此时，可以引出“除加法外，减法、乘法和除法这几种运算是否也具有交换律”的问题。课堂上留给学生充分的时间与空间，在合作交流的过程中进行大胆猜想、举例验证、归纳概括……学生体验发现知识的过程比记住知识的结论更有意义，它能唤起学生探索与创造的愿望，教会学生怎样学习。上述问题的提出，有效地调动了学生学习的主观能动性，让学生亲身经历数学的探索过程，体验着“再发现”“再创造”的乐趣。

二、挖掘数学因子——充分经历“自主化”过程

在数学学习的过程中，学生一般要经历动作性表征、映像性表征、符号性表征三个阶段。对同一数学知识进行多元表征，能促进学生对数学知识的理解。数学故事形象生动有趣，运用得当，是良好的教学素材。教学中适当地穿插适切的数学故事，能有效地激发学生学习数学的兴趣，有助于通过故事中的事例形象地理解数学学习内容，让学生自主经历学习过程，优化学习效果。

如“搭配的规律”教学，课堂结束之时，教师们会经常讲述“田忌赛马”的故事，让学生感受到不同的搭配方法带来的不同结果。但故事往往只停留在教师“讲”，学生“听”的层面，虽具“文化味”但欠“数学味”，未能充分挖掘其中的“数学因子”。可以尝试把故事进行数学化处理，使学生自主寻找解决问题的途径与办法。教师出示：齐威王和田忌分别有上、中、下三种马，田忌的上等马不如齐威王的上等马，但比齐威王的中等马跑得快一些，田忌的中等马也不如齐威王的中等马，但比齐威王的下等马跑得快一些，田忌的下等马不如齐威王的下等马。你能用数学的语言简洁地表示出这六匹马之间的速度关系吗？在比赛时，一共有多少种搭配的方法？比赛采取三局两胜制，你能选择合适的搭配方法，让处于劣势的田忌战胜齐威王吗？引导学生用A1、A2.A3、B1、B2.B3等符号分别表示齐威王和田忌的不同马匹，用A1>B1>A2、A2>B2>A3、A3>B3等数学式子表示马匹之间的速度关系，接着进行多种搭配组合，分析推理出田忌取胜的方法。历史故事呈现方式的改变，充分挖掘了田忌赛马故事中的数学因子，引导学生用数学符号有效地表征了故事中的关键条件，实现了从映像性表征到符号性表征的转化，让学生自主学习而非被动接受，体验到故事中蕴含的数学意蕴。

三、探寻知识内核——充分经历“本质化”过程

著名数学教育家弗赖登塔尔有过这样的论述：没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来。一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明變成了冰冷的美丽。教学中，除对数学结论的关注外，还应挖掘其背后蕴藏的数学实质，让学生进行“火热地思考”，充分经历数学学习“本质化”过程。

如“3的倍数的特征”教学通常止步于对自然数或计数器上表示的数进行观察，得出“一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数”这一结论。而特级教师周卫东的教学或能给我们带来启示。“用一大捆100根、2捆10根的小棒和3根小棒表示123。先用100根小棒除以3，余1根小棒；再用一捆10根小棒除以3也余1根小棒，2捆就是2个十，除以3余2根小棒；再加剩下的3根小棒，一共是1+2+3=6根小棒。这里的1指的是100除以3后余下的1，2指的是20除以3后余下的2，3指的是个位的3。”这样的教学引导，直抵数学内核——如果各个数位上的数除以3之后的余数相加之和是3的倍数，那么原来的数也就是3的倍数。

四、突出实践运用——充分经历“结构化”过程

结构是关系的组合，结构具有整体性。而认知结构是个体在感知和理解客观现实的基础上，在头脑里形成的一种心理结构。现代认知心理学派认为，学习是认知结构的组织与重新组织。他们既强调已有认知结构和经验的作用，也强调学习材料本身内在的逻辑结构。为更好地促进学生科学认知结构的形成，需要对数学知识进行适时地统整，并突出实践运用的价值。

如教学“找规律——间隔问题”对几种不同情况的整理辨析时，通常将一一间隔排列的两种物体个数关系让学生进行语言表征。这种方式能凸显出学生对某一种情况的理解，但对不同情况之间的关系未能做出较为深入的比较，也未能凸显出数学的应用价值。更有甚者，学生将几种不同情况进行机械记忆，使认知结构的科学建构受到阻碍。可以尝试进行知识统整形式的改变，突出实践运用，让学生充分经历“结构化”过程。出示：在一个盒子里放入了一一间隔排列的红、黄两种棋子，已知红棋子有5枚，黄棋子有多少枚？在这样开放的练习中，学生会自觉地将两种物体一一间隔排列的几种不同的情况加以联系辨析。当红、黄两种棋子围成一圈时，两种棋子的个数相等；当两种棋子排成一排，两端都是红棋子时，黄棋子就有4枚；两端都是黄棋子时，黄棋子就有6枚；一端是黄棋子另一端是红棋子时，黄棋子也是5枚。这样的知识梳理，发散了学生的思维，不但起到了练习巩固的作用，还让学生经历了数学知识结构化的过程，形成科学的认知结构。

数学学习是一个动态的过程，“教”应始终围绕“学”来开展，使学生充分经历学习过程，由被动接受的客体变成积极主动的主体，当为数学教学的应然状态，以最大限度地激发学生的内在潜力与学习动力，使教学过程真正成为学生自主活动和自我建构的过程。