不同灾后救援情境下医疗人员与医疗物品最优订购的报童模型*

张小路，刘德海

(1.东北财经大学 经济学院，辽宁 大连 116025；2.东北财经大学 管理科学与工程学院，辽宁 大连 116025)

0　引言

地震、海啸等各类自然灾害对人类社会造成巨大危害。根据2010年《民政部发布2009年全国自然灾害损失情况》报道，2009年全国各类自然灾害共造成约4.8亿人(次)受灾，死亡和失踪1 528人，紧急转移安置709.9万人(次)，因灾直接经济损失2 523.7亿元。在重大自然灾害的救援过程中，医疗人员与医疗物品的最优配置(订购)是1个重要问题，尤其是面对不同类型的灾害，对于医疗人员和医疗物品存在着不同的需求。例如：2004年的印度洋海啸，其遇难者总人数已经超过29.2万人，当时急需验尸人员以辨别死者身份，而由于印尼的特殊地理位置，导致验尸人员只能通过直升机进入灾区，进一步加剧验尸人员的急需性[1]。2008年汶川地震灾后救援中，药品和医用耗材器械一直处于急需状态，其中青川县急需用于救治1.2万名受伤人员的药品和医疗设备[2]。因此，重大灾害应急救援过程中，各种不同医疗救援资源的急需性以及需求量的不确定性，使如何合理有效地配置各种医疗救援资源成为难点。

当前自然灾害应急管理已经成为管理科学界热点问题之一[3-4]，针对灾害救援物资供给方面的研究主要集中于库存管理、仓库选址和物资运输等方面。在现有关于救援物资的库存管理的成果中，主要集中于讨论应急物资库存管理的最优化，在传统库存管理模型的基础上，通过修正提前期的数值、调整订货策略以适应应急救援情形，研究预先部署的仓库群在应急情形发生时的快速响应问题，评估其成本结构的变化以及缺货的风险[5]；将保险费用和支付元素导入规划模型，讨论应急供应链的库存决策问题，然后设定多种物资的需求量为变量，且与灾害的特征(如飓风的强度和路径变化)有关，讨论应急救援活动中的复杂库存管理策略[6-9]；将应急物资划分为响应期物资和恢复期物资2个部分，基于2类物资的关系建立基于跨期一体化的最优订货量单周期库存模型[10]；对于不确定环境下模糊应急物资库存，设立离散单周期单物品的库存模型，并得出在需求随机、需求模糊随机、需求随机且成本模糊的最优订购策略表达式[11]；基于时效性准则，构建应急物资订货分段函数模型，在估算出需求速率和订货提前期的情况下，求解最佳订货量和订货批次，初步建立以时效性最佳为目标的库存控制理论[12]。综合上述成果，现有研究集中在不同灾害情景下应急物资的最优调度问题，但是对于医疗人员的最优配置研究较少，尤其是医疗人员和医疗物品2种应急资源的最优配置问题尚较少涉及。

报童模型是广泛应用于需求不确定条件下订货问题的模型，许多专家学者进行大量研究。其中多产品报童问题(MPNP)是报童模型的1个重要分支，受到国内外学者的广泛关注。对MPNP的相关研究主要集中于目标函数、产品替代、约束条件等3个方面。约束条件方面主要集中讨论预算约束，通过几个极小极大化遗憾公式表达1个预算约束，求解出该种情形下的最优解[13]；考虑补货数量总价值的预算约束和补货的固定成本的多产品报童模型，利用动态规划法进行求解[14]；另外可以利用严格的、近似的及遗传迭代算法的方法求解单种约束下的多产品报童问题；而对于多种约束下的多产品的报童模型，则采用二次规划方法求解，并且可以将多产品报童模型扩展到随机产出情形下的模型，求解在随机产出和随机需求情形下的最优解[15-18]。

虽然带有约束的2产品报童订购模型已经广泛应用于时尚健身行业、制造及零售业的辅助决策、航空和旅馆的管理容量和评估预订等领域中，但是在灾害救援领域，除Arian Aaki等人首次将报童模型运用于灾后救援中[19]外，其它类似应用研究较少发现。因此，针对不同灾害类型下灾后医疗救援物资在需求不确定条件下的订购问题，运用报童订购模型分析政府对于医疗人员以及医疗物品订货决策的期望收益函数，建立订购模型，并通过数值分析得出各变量对政府决策的影响。研究结果有助于分析灾后救援中政府的决策行为，对政府合理利用资源、提高灾害救援效率有一定借鉴意义。

1　问题描述与模型构建

1.1　基本假设

在灾害救援中，同时考虑灾民对医疗人员和医疗物品这2种资源的需求是随机的，假设政府具有损失厌恶特征，那么如何构建订货决策模型，来描述在灾害救援中，政府医疗资源的最优订购行为成为急需解决的关键问题。为了更清楚地界定模型，作如下基本假设。

假设1：医疗人员在救援过程中需要配备多种必要的医疗器械和药品，即医疗人员与医疗物品之间存在着互补关系。这里的互补是指医疗人员要配备一定数量的医疗物品才能顺利实施救援，即在灾害救援中，医疗人员不能在没有必要的医疗物品情况下对灾民实施救援，同时如果仅仅运输相应的医疗物品(药品、器械等)，但是缺乏必要的医护人员，也难以实施有效的救治。根据不同的灾害类型，医疗人员和医疗物品之间存在着不同的互补关系。具体来说，在2004年印度洋海啸期间，不同国家由于受灾情况不同，对于医疗人员和医疗物资的需求情况也不尽相同，例如在受灾最重的印尼，由于幸存者很少，此时急需验尸人员辨别死者身份，此时医疗人员与医疗物资的互补系数较小。但是，在2008年汶川地震重伤员的灾后应急救援过程中，对药品、医疗器械的需求比较集中，简单包扎和伤员转运等医疗救护任务甚至专业志愿者也能够承担，此种类型灾害下，2者的互补系数较大。

假设2：在灾后救援过程中，政府免费提供相应的医疗物品，同时灾民在一定时期内可以免费领取存储备用，并通过一些简单的自救知识而自行使用，因此假定其退货补贴为零。

假设3：基于汶川地震等灾害救援的经验，超出救援需求的医疗人员和志愿者等剩余人员，将增大灾区饮用水、食品、帐篷等日常生活用品的需求，不利于救援工作的开展。因此假定医疗人员的退货补贴为负数，即当调配的医疗人员超出最大需求量时，反而不利于灾害救援的顺利实施。

假设4：在进行订购决策时，由于医疗人员与医疗物品的需求不确定性，使得政府无法准确预测订购量，因此会导致订购量与实际需求量不符的情况，从而需要承担缺货成本或者获得多余产品的退货补贴，假定只考虑采购成本、缺货损失和退回补贴。

1.2　模型建立

针对模型中的有关变量，作出如下定义：i为资源下标，i=1,2，其中i=1表示医疗人员，i=2表示医疗物品；pi为资源带来的单位效益；ci为资源的单位成本；ri为单位缺货损失；si为退回补贴；xi为政府的订购数量，是决策变量；Di为需求量，f(D1,D2)，F(D1,D2)分别表示D1，D2的联合概率密度函数和联合累积分布函数。根据假设，1，2种医疗资源订购量需要满足x2≥kx1，其中k>1。

根据随机需求下的报童模型的基本假设可知，医疗人员的期望收益可表示为：

(1)

同理，医疗物品的期望收益可以表示为：

(2)

可得政府的决策问题为：

(3)

s.t.x1≥0,x2≥0,x2≥kx1

根据海瑟矩阵，可以证明上述最优化问题存在最优解。

1.3　模型求解

命题1. 式(3)所表达的模型存在最优解。

证， 将目标函数(3)整理为：

(4)

其海瑟矩阵为：

(5)

由于海瑟矩阵(5)的一阶顺序主子式为|H1|=-(p1-s1+r1)f1(x)<0，二阶顺序主子式为|H2|=(p1-s1+r1)(p2-s2+r2)f1(x)f2(x)>0，即该海瑟矩阵是负定的，故上述决策问题存在最优解。

下面利用KKT条件来求决策问题(4)的最优解。

首先，构造其Lagrange函数为：

(6)

KKT优化条件如下：

λ1x1=0

(7)

λ2x2=0λ3(x2-kx1)=0λ1,λ2,λ3≥0

联立上述式子，即可得到各决策变量的理论最优解，即满足式(8)的x1,x2为上述决策问题的最优解：

-(p1-s1+r1)F1(kx2)-k(p2-s2+r2)F2(x2)+

(p1-c1+r1)+k(p2-c2+r2)=0

(8)

x2=kx1

2　数值分析

通过改变参数的取值来进一步对模型进行分析，仅分析k的变化对医疗人员及医疗物品的最优订购数量的影响。由于k>1，分别取k为1.2，1.4，1.6，1.8，2.0，2.2，其余参数取值不变，带入模型求解，医疗人员的最优订购数量的变化规律如图1所示。

图1　不同灾害类型(互补系数)对医疗人员或医疗物品最优订购数量的影响Fig.1　Effects of different types of disasters (complementarycoefficient) on the optimal order quantity of medical personnel or medical items

分析图1可以得出如下结论：

1)随着不同灾害类型的互补系数k增加，即单位医疗人员所需而配备的医疗物品数量的减少，医疗人员的最优订购数量呈相应减少的趋势，且这种减少的趋势越来越平缓；随着互补系数的增加，医疗物品的最优订购数量也呈相应减少的趋势，且这种减少的趋势也是越来越平缓。

2)医疗人员的最优订购数量一直小于医疗物品的最优订购数量。由图1可以看出，虽然2种资源的最优订购数量都是随着互补系数的增加而减少，但是医疗人员的最优配置数量的变动更加明显。

3　结论

1)在灾害救援过程中，医疗物品最优订购数量与其成本成反比；医疗物品最优订购数量与医疗人员最优配置数量成正比，与其退货补贴成正比。

2)医疗人员和医疗物品的最优配置(订购)数量需要满足基本的互补关系，2者之间比例系数反映不同类型自然灾害对于医疗救援资源的需求差异，随着2种医疗救援资源之间的比例系数的增加，医疗人员及医疗物品的最优订购数量均有所下降，但是下降趋势趋于平缓。

3)还可做进一步拓展，如在约束条件方面仅仅考虑医疗人员与医疗物品之间的互补关系，并未考虑政府的预算约束等；另外，在数值分析时假设2种资源的需求独立同服从于均匀分布，这与实际可能不完全相符，将是进一步的研究方向之一。

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