勾股数及其活动课教学研究

江苏省扬州市竹西中学(225000)

宋 扬●

勾股数及其活动课教学研究

江苏省扬州市竹西中学(225000)

宋 扬●

勾股定理是数学的一个很重要的定理，在人类的文明史中有着杰出的贡献，由勾股定理引出的“勾股数”也因此崭露头角，继而声名远扬．本文在文【1】的基础上作了修改、补充和拓展，并运用到数学综合与实践的教学活动中，引发了同学们极大的兴趣，取得了令人满意的教学效果．现将活动课的内容和教学要点展示如下，主要是阐明了勾股数的三种计算公式的由来、产生过程及其内在联系，用几种不同的方法探寻勾股数的规律，并形成各种各样的勾股数表达式．同时，明确回答了文【1】和文【2】中相关内容提出的疑难问题，而且有所增强，从理论上和活动课教学实践上都作了较为充分的研究．

数学活动课；勾股数；勾股数计算公式；勾股数表达式；勾股数的性质；活动创新

一、课题：探寻勾股数的规律

二、事前准备：

1．自备计算器一台．

2．熟悉勾股数的基本概念．

3．了解并初步掌握古代数学家给出的勾股数计算公式．

三、活动内容和实施过程

1．从任一大于1的奇数出发，寻求一组勾股数中的另两个数

设a为大于1的奇数，(a，b，c)为一组勾股数，填表：

表1

(1)在表1中，b和c之间的数量关系是____；b、c与a2之间的关系式是____．根据以上规律，写出勾股数(19，____，____)；(75，____，____)．

(2)一般地，从a=2n+1(n∈Z+)出发，请你推导出计算勾股数的一组公式．

2．从任一大于2的偶数出发，寻求一组勾股数中的另两个数

设a为大于2的偶数，(a，b，c)为一组勾股数，填表：

(1)在表2中，b和c之间的数量关系是____；b、c与a2之间的关系式是____．根据以上规律，写出勾股数(18，____，____)；(40，____，____)．

(2)一般地，从a=2n(n∈Z+，n>1) 出发，请你推导出计算勾股数的一组公式．

3．尝试从乘法公式入手探索构造勾股数的方法

构造勾股数，就是要寻找三个正整数，使它们满足( )2+( )2=( )2的形式．

(1)联想到乘法公式，显然有(x-y)2+4xy=(x+y)2，从这个恒等式出发，请你推导出计算勾股数的一组公式．

提示：为了使等式左边的4xy也能写成( )2的形式，可令x=m2,y=n2(m,n∈Z+，且m>n)．

(2)根据上述探索得到的勾股数表达式，构建下列表格，并填写勾股数，你一定能有所发现．

表3

mnm2-n22mnm2+n2213141516171

(3)观察勾股数：3，4，5；…；16，63，65；20，99，101；…(*)这里的每组勾股数中都有两个数是连续的奇数，你能借助3.(1)中推导出的勾股数计算公式，探索并构造这样的勾股数吗？请试一试．

提示：可先构建下列表格并填写，然后推导出与(*)相应的勾股数表达式(计算公式)．

表5

表6

四、活动创新素材

1．探讨勾股数的三种计算公式之间的内在联系

(1)毕达哥拉斯给出的计算公式：

(2)古希腊哲学家柏拉图给出的计算公式：

n2-1，2n，n2+1.(n∈Z+，n>1)②

(3)古希腊数学家丢番图给出的计算公式：

m2-n2，2mn，m2+n2.(m,n∈Z+，m>n)③

2．一位数学家在他找到的勾股数表达式中，用2n2+2n+1(n∈Z+)表示勾股数中最大的一个数，请你找出另两个数的表达式．

3．如果用2n2+2n+1(n∈Z+)表示勾股数(表达式)中最小的一个数，你能找出另外两个数的表达式吗？

4．观察勾股数6，8，10；10，24，26；…；22，120，122；26，168，170；… 这里的每组勾股数中都有两个数是连续的偶数，你能借助1．③探索并求出相应的勾股数表达式吗？

5．设 2n(n∈Z+，n≥2)是勾股数组中的一个数，但不是最大的一个，试寻求勾股数组中的另两个数．

(1)当n=2，3，4，5，6时，请分别求出含有2n的所有勾股数组；

(2)当n=k时，含有2k的全部勾股数组有什么规律？

6．如图1，已知四边形ABCD是长方形，AC为对角线．

图1 图2

如图2，ABCD-A1B1C1D1是长方体．图1中的线段AB、BC、AC分别对应图2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1．设这三个面的面积分别为α、β、γ，试问α、β、γ是否满足勾股定理？为什么？α、β、γ是不是一组勾股数？又为什么？

7．是否存在这样的3个非零的整数a、b、c，使得a3+b3=c3成立？你能进行一番探索吗？试一试．

五、部分答案或析解

活动1．(1)c=b+1；b+c=a2；180，181；2812，2813．

(2)解法一：a=2n+1，根据(1)中的两个关系式，有2b+1=a2=(2n+1)2,得b=2n2+2n，c=2n2+2n+1．

解法二：由c=b+1和勾股数定义，有(2n+1)2+b2=(b+1)2，

得b=2n2+2n，c=2n2+2n+1．

(3)从填表结果可以看到，表5和表6实际上是完全相同的，这说明勾股数表达式

也可由直接进行理论推导而得到：设勾股数中两个连续的奇数为2m-1和2m+1，则显然有(2m+1)2-(2m-1)2=8m，令m=2n2，有(4n2+1)2-(4n2-1)2=(4n)2,故所求勾股数表达式(计算公式)为(4n2-1，4n，4n2+1)(n∈Z+)．

活动创新1．①是③当m=n+1时的特殊情形．用集合的观点看，把每一组勾股数看作一个元素，则由①表示的集合是由③表示的集合的子集．类似地，②也是③的特殊情形，集合②也是集合③的子集．

即(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2．故所求为2n+1和2n2+2n．

(1)当n=2时，求得1组勾股数：(4，3，5)．

当n=3时，求得2组勾股数：(8，17，15)，(8，10，6)．

当n=4时，求得3组勾股数：(16，65，63)，(16，34，30)，(16，20，12)．

当n=5时，求得4组勾股数：(32，257，255)，(32，130，126)，(32，68，60)，(32，40，24)．

当n=6时，求得5组勾股数：(64，1025，1023)，(64，1014，1010)，(64，260，252)，(64，136，120)，(64，80，48)．

(2)当n=k时，可求得k-1组含有2k的勾股数．能否写出一般的勾股数表达式？留作练习．

当2n为勾股数组中最大的一个数时，能否求出另外两个数？也留作练习．

6．α、β、γ满足勾股定理．证：设AB=a，BC=b，AC=c，BB1=h，则可推得α2+β2=γ2．但α，β，γ不一定是勾股数，因为α，β，γ未必都是整数．

7．先了解一下著名的费马最后定理：“对于任何自然数n(n>2)，方程xn+yn=zn关于x，y，z无正整数解”．根据费马最后定理，方程x3+y3=z3没有正整数解．以下分三种情形讨论：

(ⅰ)当a、b都为正整数时，由关系式a3+b3=c3知，c也为正整数，这与费马最后定理相矛盾．

(ⅱ)当a、b都为负整数时，由关系式知，c必为负整数．设a=-u，b=-v，c=-w，则有 (-u)3+(-v)3=(-w)3，从而有u3+v3=w3(其中u、v、w都是正整数)，这也与费马最后定理相矛盾．

(ⅲ)当a、b中有一个为负整数时，不妨设a为正整数，b为负整数，设b=-v，则有a3+(-v)3=c3，若a>v，则c>0，从而有c3+v3=a3(其中c、v、a都是正整数)，这仍然与费马最后定理相矛盾；若a

综上所述，不存在这样的非零整数a、b、c，使得a3+b3=c3成立．

六、勾股数的基本概念

1．勾股数的定义

定义1．直角三角形三条边的长a、b、c如果都是整数，则称a，b，c为一组勾股数．

定义2．满足关系式a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为一组勾股数，记为(a，b，c)．例如(3，4，5)就是一组最简单的勾股数．

定义3．方程x2+y2=z2的任一正整数解(a，b，c)，称为一组勾股数．

显然，上述三个定义是等价的．

2．勾股数的性质

(1)勾股数中的三个数不可能全是奇数．

(2)勾股数中的三个数只有下列两种类型：要么三个全是偶数，要么只有一个偶数．

思路点睛：根据定义2，等式两边必须同为奇数或同为偶数，即可证得．

(3)满足关系式a2-b2=c2的3个正整数a，b，c，是一组勾股数．

(4)若(a，b，c)是勾股数，则(ka，kb，kc)(k∈Z+)也是勾股数．

(5)勾股数有无数组．

(6)对大于2的任何一个整数，都可以找到至少一组勾股数．

(7)如果一组勾股数中两个较大的数相差1，那么这两个数的和就是第三个数的平方．

(8)如果两个较大的数相差2，那么这两个数中间所夹的整数是第三个数的一半的平方．

(9)任一勾股数表达式都不能覆盖所有的勾股数．例如，勾股数表达式

(m2-n2，2mn，m2+n2)(m,n∈Z+且m>n)尽管可表示无数组勾股数，但不能表示所有的勾股数，比如，勾股数(9，12，15)就不能由该表达式算出．

七、本次活动课教学要领

1．认真筹划好活动课事前准备工作．可提前3～5天印发活动课预习单，明确预习要求，让全班每个同学都有所准备．

2．预习单上的主要内容有(1)勾股数的概念：定义和几个有趣的性质；(2)古代数学家给出的计算勾股数的三个公式，要求学生根据勾股数定义分别加以验证；(3)活动1和活动2的内容，包括观察表中数字的规律、填表、填空等．这样，可为活动课大容量教学赢得许多时间．

3．充分发挥数学兴趣小组的助手、先行和引领作用．兴趣小组成员可适当分工，每2～3人领一个专题(比如，对勾股数某个性质的论证)或一项活动内容，各自做好重点准备，以确保活动课顺畅进行．

4．利用板报、墙报或数学之窗(数学角)，分阶段公布活动课相关内容，紧密配合活动课的开展．

5．教学方式主要是引导、探究式．采用顶层设计、分项实施，逐步引导、共同探究，举一反三、层层递进，最终到达目标．老师指点少而精，及时、准确到位，并运用好多媒体教学手段，及时展现当前所要解决的问题、解决的过程和结果．让同学们自主探究、分组讨论的时间既紧凑又充分．

6．对具体的勾股数，让同学们适时使用计算器进行演算，帮助探寻规律，以节省时间．

7．与本次活动课链接的课本基础知识有：勾股定理、代数式、乘法公式、恒等变形、方程(组)、不定方程及正整数解、集合、简单的推理论证等．

8．活动创新素材的收集、整理待课后完成．可发动全班同学每人收集1～2项，经汇总、整理、去重、甄别、修订后，印发补充讲义，实现成果共享，扩大教学效应．

实践又一次表明，数学活动课的教学丰富多彩、成效显著，探究性学习越来越展现出强大的生命力．数学新课标已经为我们照亮了胜利前进的航程，乘风破浪、勇敢向前，就一定能够到达理想的境界．

[1]《数学综合与实践活动》编写组. 勾股数的探索，数学综合与实践活动(八年级上册).南京：江苏科学技术出版社，2010．

[2]杨裕前，董林伟．勾股定理，数学教师教学用书(八年级上册)．南京：江苏凤凰科学技术出版社，2016．

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