利用数学模型巧解初中物理电学中的极值问题

西北师范大学第二附属中学(730070)

范胜邦●

利用数学模型巧解初中物理电学中的极值问题

西北师范大学第二附属中学(730070)

范胜邦●

针对初中学生在求解物理电学中的极值问题时出现的“一听就懂，一做就错”现象，本文以相对较难的初中电学极值问题为例，提出了一种利用数学模型的方法巧解初中物理电学中的极值问题，让学生体会如何通过物理公式建立数学模型，达到应用数学方法解决物理问题的目的.

数学模型；物理电学；极值；应用

本文提出了一种利用数学模型的方法巧解初中物理电学中的极值问题，以相对较难的初中电学极值问题为例，通过教学一方面让学生深入理解数学在实际中的应用，培养学生较高的数学应用能力，同时也让学生体会如何通过物理公式建立数学模型，用数学方法解决用物理方法无法解决的物理问题，认识到数学方法在解决物理问题中的重要性.

初中电学求极值问题例析

1.利用基本不等式或二次函数求电功率的极值

例1 如图1所示，一标有“50Ω1A”字样的滑动变阻器R1与一个20Ω的定值电阻R2串联，接在一个电压为12V的稳压电源上，求滑动变阻器接入电路的阻值为多大时它消耗的功率最大？最大功率是多少？

解析 在电源电压和定值电阻R2不变的情况下，随着R1电阻的增大，通过它的电流减小，但它两端的电压会增大，根据P=UI，学生很难确定什么时候它的功率最大，更无法求出它的最大功率.此时，数学方法就凸显优势.根据自变量设定的不同，可用两种数学模型求解这道题.

解法一 基本不等式(a-b)2≥0的拓展应用设滑动变阻器接入电路的电阻为Rx，则电路中的电流为I=U/

解法二 二次函数的极值

设电路中的电流为I，则R2两端的电压为U2=IR2，根据串联电路的电压关系，R1两端的电压为U=U-U2=U-IR2.则R1消耗的电功率为P1=U1I=(U-IR2)I=I2R2+UI.因为-R2<0，所以当I=-U/2(-R2)=U/(2R2)=12V/(220Ω)=0.3A时，P1最大.P1m=R2I2+UI=-20Ω×(0.3A)2+12V×0.3A=1.8W.

此时，滑动变阻器的电阻为R1=U/I-R2=12V/0.3A-20Ω=20Ω .

点拨 在滑动变阻器跟一个定值电阻串联的电路中，当滑动变阻器的电阻跟定值电阻的阻值相等时，滑动变阻器消耗的电功率最大.同时，比较这两种方法，基本不等式法在八年级就有所涉及，学生能够理解，但过程比较复杂.而二次函数在九年级数学中才涉及到，对新课教学过程的学生来讲难度较大，但过程相对简单，在数学知识学完后能够更好地理解.

2.利用函数定义域和值域求电流的极值

例2 如图2所示，已知定值电阻R1=10Ω，R2=20Ω，电源电压恒定.开关S1闭合、S2断开时电流表的示数为0.3A，试判断开关S1断开、S2闭合时电流表的示数.

解析 当开关S1断开、S2闭合时R2和R0串联，由于定值电阻R0未知，电源电压未知，因此，电流表的示数是无法准确计算的.这对很多初中学生来讲，分析到这个地方就进行不下去了，是一道难度较大的电学极值求解问题.实际上，在电源电压不变的情况下，电流表的示数显然与R2和R0的取值有关，R2是已知的；R0作为一个定值电阻，其取值范围为0

当开关S1闭合、S2断开时，电流表的示数为0.3A，则电源电压为U=I1(R1+R0)=0.3A×(10Ω+R0).当开关S1断开、S2闭合时，R2和R0串联，电流表的示数为I2=U/(R2+R0)=0.3A×(10Ω+R0)/(20Ω+R0).其中0

点拨 从题型上来讲，属于电学中最常见的开关引起电路变化的题目，解题时应抓住电源电压和定值电阻R0不变，把变化前后联系起来，用已知量和不变量把待求量表示出来，就会建立起相应的数学函数模型求解极值问题.

3.利用一元二次方程有实数解的条件求电功率的极值

例3 如图3所示，是小勇设计的某电器设备的部分电路.电源电压9V保持不变，灯泡L标有“8V4W”字样，电流表的量程为0～3A，电压表的量程为0～15V，滑动变阻器R2的最大阻值为20Ω.闭合开关S和S1时，电路消耗的功率为4.05W，小灯泡L的电阻是16Ω，开关S、S1、S2都闭合时，通过电流表的最小电流是0.9A.(不计灯丝电阻随温度的变化)求：在不超过电表量程和灯泡额定电压的条件下，只闭合开关S2时滑动变阻器R2的电功率变化范围.

要使式(14)中的RX有实数解，需满足条件：

解得：PX≤1.27W.

所以滑动变阻器R2的电功率变化范围是：0.5W≤PX≤1.27W.

点拨 求解极值的解题方法不是唯一的，如果要求不高，也可以直接采用例1的方法，当滑动变阻器的电阻跟灯泡的电阻相等时，滑动变阻器的功率最大求解.

综合以上几道例题的解法，我们可以体会到建立数学模型，运用数学方法解决电学极值问题时逻辑严密，学生容易理解，比单纯的利用物理方法分析有说服力.但这种方法对学生的数学能力要求较高，需要教师多次训练和示范，学生才能逐渐体会并掌握，因此教师要善于捕捉这样的机会，对学生进行数学能力的训练，同时也让这方面有特长的同学体验成功的喜悦，激发学习和创新的兴趣.

[1]2015年第11期 总第379期 教育论坛

[2]程敏. 初中生应具备的数学能力及评价方法[J]. 新校园(中旬), 2015, 11:31.

[3]葛付平. 初中电学中的极值问题[J]. 数理化解题研究(初中版), 2014, 09:43-44.

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1008-0333(2017)08-0072-02