数学复习课中需要明确的几个要点

☉江苏省海安县曲塘中学 万海兵

数学复习课中需要明确的几个要点

☉江苏省海安县曲塘中学 万海兵

数学从本质上来说是考查学生思维、培养学生能力的一门学科.高中阶段的数学对学生思维水平的发展极其重要.我们学习数学的目的及高考考查学生的方向都是考查学生的思维能力.下面以函数复习为例，就其中需要明确的几个要点，举例说明.

一、做好知识的定位

数学复习，应从基础知识开始，若知识不清楚，我们的复习就是没有基础的复习.但知识的复习不是死记硬背，特别是对于一些文科的考生来说，不能把数学的学习变成是记结论、记题型、记解法，这样的复习只能是越复习越僵化，禁锢自己的思维.实际上思维不是记与不记的问题，而是我们思考的多与少的问题.

分析：本题是以基本初等函数中的幂函数为背景的分段函数问题，这就要求我们一定要熟悉最基本的函数的图像及相关的性质.要弄清两个函数y=x2与y=x3的异同：一个为偶函数，一个为奇函数；两函数有两个公共点（0，0），（1，1）.在区间（0，1）内，x2＞x3，在区间（1，+∞）内，x2＜x3.因此分段点的变化，决定了函数f（x）相关性质的变化.据此可得出如图1～图3所示的三种情况，问题的求解自然不攻自破了.

图1

图2

答案：（-∞，0）∪（1，+∞）

除此之外，指数函数、对数函数也是我们所学的最基本的函数，复习中在熟悉这些基本函数的前提下，还要善于将它们综合起来考虑，如y=x-lnx，y=lnx x，y=x2-ex……这些函数的性质又是如何呢？

图3

二、注重对知识本质的思考

数学知识的学习不仅仅是记定义、公式、法则，关键是要抓住本质.如：什么叫奇函数？学生的回答通常有两种答案：①奇函数的图像关于原点对称.②f（-x）=-f（x）.这是奇函数概念下的两个结论.一个是图像特征，一个是符号语言.这两个结论学生说出来，说对了.这是因为经过长期的复习，他记下来了.但这样仍属于不会思维，不会用函数的思维理解这个概念.正确的回答应该是什么呢？应该是自变量取了和为零的两个值的时候，也就是相反数的时候，对应的函数值相反.这才符合函数的思维.

如果将“关于原点对称”改为关于其他点对称呢？

A.0B.mC.2mD.4m

三、明确思维能力提高的途径

复习中我们大量做题的目的，实际上是要通过做题来找到科学的思维方法，通过做题找到解决数学问题的一般方法.到了高三的最后阶段，其实解决问题的方法应该是越少越好.我们所用的方法应该是本质的，而不是形式的.如果我们在每一个单元的复习之后，都能找到解决问题的本质方法，那么我们就有信心参加高考了；如果越做题感觉自己的问题越多，甚至觉得有很多题没有做，匆匆忙忙就去考试了，这样就表明我们对于复习的理解与认识还不够准确.

例3已知函数f（x）=x2-2x+2，g（x）=ax+lnx（a∈R），若存在x1∈［0，1］，x2∈［1，e］，使得f（x1）＜g（x2）成立，求实数a的取值范围.（其中e为自然对数的底数）

总结：∃x1∈D，x2∈E，f（x1）＜g（x2）⇔［f（x）］min＜［g（x）］max.

变式1：若∀x1∈［0，1］，∃x2∈［1，e］，使f（x1）＜g（x2）成立，求实数a的取值范围.（其中e为自然对数的底数）

总结：∀x1∈D，∃x2∈E，f（x1）＜g（x2）⇔［f（x）］max＜［g（x）］max.

变式2：若∀x1∈［0，1］，∃x2∈［1，e］，使f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围.（其中e为自然对数的底数）

总结：∀x1∈D，∃x2∈E，f（x1）=g（x2）⇔f（x）的值域⊆g（x）的值域.

变式3：若∃x1∈［0，1］，∃x2∈［1，e］，使f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围.（其中e为自然对数的底数）.

总结：∃x1∈D，∃x2∈E，f（x1）=g（x2）⇔f（x）的值域∩g（x）的值域≠∅.

变式4：若∀x1∈［0，1］，∀x2∈［1，e］，使f（x1）＜g（x2）成立，求实数a的取值范围.（其中e为自然对数的底数）.

总结：∀x1∈D，∀x2∈E，f（x1）＜g（x2）⇔［f（x）］max＜［g（x）］min.

通过对上述例题进行一题多变可以看出，此类型题目中均含有两个函数，并且含有两个变量.由于这两个变量在各自区间上的取值具有任意性，因此，这类问题最终转化为函数值域或最值问题加以解决.

例4如图4所示，A是函数f（x）=2x的图像上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数g（x）=2x+2的图像于点B，若函数f（x）=2x的图像上存在点C使得△ABC为等边三角形，则称A为函数f（x）=2x上的好位置点.函数f（x）=2x上的好位置点的个数为（）.

A.0B.1C.2D.大于2

图4

图5

正确选项为B.

此题的命题背景是指数函数，综合考查了平面几何知识.在成功解答此题后，思考：如何将指数函数换为对数函数，是否可行呢？

变式如图5，点A，B在函数y=log2x+2的图像上，点C在函数y=log2x的图像上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为（m，n），则m=（）.

正确选项为D.

经过这样的训练，我们会解的不是一个题，而是一类题，我们分析问题、解决问题的能力自然会得到有效的提升.

四、加强对解题方法的提炼

假如说解决函数问题的方法有多种，如果我们不去提炼，一个一个地去尝试，等试到最后一种方法也解不了的时候，只能放弃了，因为没有其他方法了.其实，这几种方法也许从本质上来说，就是一个方法，但是在复习的时候我们没有注意到.也就是说，我们做了很多题目却没有注意提炼，没有提炼思维方法，没有提炼解决问题的方法.

研究函数的一般方法是什么呢？当我们看到函数解析式时，不用将其分类，无论是含有字母，还是含有参数，甚至是一个简单的函数解析式，我们都要研究它的性质，画出其简单的示意图，进而清楚我们要研究的对象.围绕这样的函数设计的任何问题都有办法解决了.

例5已知π为圆周率，e=2.718…为自然对数的底数.

（2）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数.

图6

进而可得3π＞π3，eπ＞πe，e3＞3e及3π＞eπ＞e3，π3＞πe＞3e，故所求的最大数为3π，最小数3e.

，则a，b，c的大小关系为（）.

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.c＜a＜bD.b＜a＜c

正确选项为C.

很多学生在解题时，只是粗略地审题后，就直奔结果了，对于函数本身的理解很片面，这样的话就会影响到解题的思路.所以解题的方法怎么来的？哪来的呢？你要把你的研究对象研究透彻.

总之，在数学复习时，不是从知识的角度去考虑哪些讲了，哪些没讲的问题.而是关注最核心的知识、最核心的思维、最核心的方法.所以，我们在最后的这个阶段，若仍不关注自己思考问题的方式，只是埋头做题，那就可能丧失最佳的提高自己思维能力的机会.F