Abaqus中一种考虑材料阻尼的随机响应分析方法

邓长喜

[摘要]介绍了Abaqus中随机响应分析的特点，简要论述了虚拟激励法的理论基础，介绍了利用Abaqus谐响应分析结果得到随机响应结果的步骤。并以悬臂梁为例，将本文方法和Abaqus中自带随机振动求解器计算结果进行对比。结果表明，两者误差很小，本文方法计算结果可信。

[关键词]随机响应；振动；虚拟激励法；大阻尼

0引言

在工程上，随机响应分析常用来预先分析设备抵抗随机载荷的能力。随机振动将概率论与统计学中的方法应用到评估设备结构的稳定性、识别、响应以及可靠性上，形成了一个相关学科相结合的新产物。

Abaqus作为一个通用有限元求解器，在各个行业得到了广泛的应用。随机分析的激励作为时间的函数。具体载荷（力、速度等）都是未知的，载荷的本质是通过统计学的方法描述。在Abaqus中进行随机响应分析时，直接输入激励的功率谱密度（PSD）曲线，然后有求解器直接计算出结构响应的功率谱密度曲线和对应的均方根（RMS）值。随机响应分析是一个频域的线性摄动分析过程，通过结构的特征模态来计算得到。阻尼可以通过模态阻尼、结构阻尼、瑞利阻尼或者复合阻尼等方式施加到结构模型中。直接随机响应分析具有方便操作，计算速度快等特点。但是，直接随机响应基于模态叠加法，使用的是全局的模态阻尼，只适用于小阻尼的情况，不能形成阻尼矩阵参与动力学分析，无法为材料添加阻尼，在含有大阻尼的橡胶材料构成的减震器模型中无法应用该分析。

本文简要介绍了虚拟激励法，并通过该方法处理Abaqus稳态动力学分析结果得到对应PSD激励下的随机响应结果，并且和常规随机响应分析结果做出对比。

1基本原理

稳态动力学和随机振动分析在Abaqus中都是基于扫频分析，本质上是一样的。

但是，稳态动力学（正弦振动）分析的输入（激励）是各个频率点的加速度或位移峰值，响应为各个频率点的加速度或位移峰值。得到的传递函数为单位激励下每个频率点的响应。它是按照用户设定的扫频点一个一个地进行分析。如果输入的激励为单位值，则各个频率上的单位激励。引起各个频率上的响应。也就是传递函数。

随机振动分析的输入（激励）是每个频率成分的加速度密度值。加速度PSD曲线在整个频率段上的积分为加速度均方值，开根号后为均方根加速度。响应也是每个频率成分的加速度密度值，积分再开根号得到响应的均方根加速度，虽然它也是按照用户设定的扫频点一个一个地进行分析，但是它是一个PSD曲线对应一个响应，各个频率上的激励，引起各个频率上的响应。

所以，稳态动力分析是各个扫频点的激励对应各个扫频点的响应，随机响应分析是所有频率成分的密度组成的一个激励对应所有频率成分密度组成的一个响应。它们之间的桥梁就是传递函数。

对于一个平稳随机激励的线性系统，频率响应表征了系统在频域的动态特性，决定了系统输入与输出的关系。在零初始条件下，频响函数是输出与输入的复数之比，即

（1）

式中，H（f）为频响函数，f为频率，Y_f（t）为响应y（t）的傅立叶变换，X_t（t）为激励x（t）的傅立叶变换。

对于收到平稳随机激励的系统，激励的功率谱密度S_x（f）已知，构造如下的虚拟激励：

（2）

由式子（1），可以得到在虚拟激励下的虚拟响应为：

（3）

由虚拟激励得到虚拟响应之后，可以由下列公式计算真实响应的自功率谱密度、真实激励与真实响应的互功率谱密度：

（4）

（5）

（6）

2Abaqus算例

2.1基本思路

此方法将常规的随机响应分析转化为了谐响应分析，间接由SSD响应结果转化而来。求解的基本思路如下：

1）求取系统的频响函数。采取Steady_State dynamics求解器，选用Dieret方法，该方法可以设置各材料的阻尼值。

2）通过频响函数求取关心参数（如Mises应力）的PSD响应，参考公式如下！

（7）

其中，S_xx（ω）是输入（激励）的PSD函数，S_yy（ω）是输出（响应点）的PSD函数，H（ω）是结构的传递函数。

3）通过PSD响应求关系参数在扫频范围内的RMS值，对PSD响应曲线进行积分（即求曲线下的面积）即可以得到RMS曲线。关心频率上限对应的值就是关心频率内的RMS值。

2.2算例

算例模型是尺寸为914.4mm*76.2mm*12.7mm的悬臂梁，密度为2.7793E-9T/mm³，弹性模量为68965MPa，柏松比为0.3，模型在毫米制单位下建立。为了计算的快速，网格数量为30*1*1，类型为C3D8I。一端完全约束，另一端自由。

谐响应分析中材料阻尼定义为0.06，给模型添加X方向的单位加速度正弦激励；随机响应分析中阻尼为整体的模态阻尼，大小为0.03，同样将激励添加到x方向，添加的加速度功率谱密度曲线定义如下：

*Psd-definition，name=Amp-1，g=9800.，type=BASE

0.0001，0.，1.

0.01，0.，4.

0.01，0.，100.

0.001，0v，200v

经过分析，模型在1-200Hz内的模态如表1所示。

读取模型中编号为125、141的节点进行对比，图2为常规随机响应分析结果，图3为由SSD分析结果转换而来的真实随机响应结果。在图4中，将两中方法得到的结果进行对比，在峰值附近两种结果的误差很小。图5、图6分别为两点在X方向上的位移PSD响应的对比，图7～图8为两点的X方向位移分量RMS对比和Mises应力的RMS对比。

3结论

经过对比分析Abaqus自带随机响应求解器计算结果和本文方法的结果，得出以下结论：

1）工程上常用各分量的RMS值进行评价。经过对比两个节点的Mises应力的RMS值，以及X方向位移分量的RMS值，可以发现误差很小，本文方法可信。

2）从图2～图10的对比图可以看出，在响应的各峰值附近，两种方法结果的差异非常的小，但是峰值外的地方差别相对较大。一个原因是因为本文对比图中采用了对数坐标，从图中可以看出差异大的地方数量级非常小。基本可以忽略；另一个原因是，本文方法在处理数据时采用的线性插值，而Abaqus自带求解器则采用的对数插值。

3）在Abaqus中的隨机响应分析步无法设置材料阻尼，只能使用模态阻尼，而本文方法使用的是直接法进行谐响应分析，因此可以直接设置材料的阻尼。

[责任编辑：杨玉洁]