时间模上一类二阶非线性动态方程振荡性的新结果

杨甲山,张晓建

(1.梧州学院信息与电子工程学院,广西梧州543002; 2.梧州学院复杂系统仿真与智能计算实验室,广西梧州543002; 3.邵阳学院理学与信息科学系,湖南邵阳422004)

时间模上一类二阶非线性动态方程振荡性的新结果

杨甲山1,2,张晓建3

(1.梧州学院信息与电子工程学院,广西梧州543002; 2.梧州学院复杂系统仿真与智能计算实验室,广西梧州543002; 3.邵阳学院理学与信息科学系,湖南邵阳422004)

研究了如下一类时间模T上的二阶非线性的中立型变时滞泛函动态方程的振荡性,其中φ(u)=|u|λ-1u(λ＞0为任意常数).通过引入一对黎卡提变换,并结合时间模上的理论及不等式技巧,得到了该方程振荡的2个新准则,推广并改进了现有文献中的一些结果.最后,举了2个例子说明了本文定理的重要性.

振荡性;时间模;泛函动态方程;变时滞

0 引言

振荡(亦称振动)作为一种物理现象,广泛存在于自然科学和工程技术中,如控制系统中的自激振荡,同步加速器中波束的振动,化学反应过程中的复杂振荡等等.这些现象可以统一为方程的振荡理论,因此,振荡理论作为微分方程的定性理论之一受到了学者们的广泛关注.近来,德国学者Stefan Hilger在其导师Bernd Aulbach指导下于1988年首次提出了时间模(time scales,也称时间测度链,时间尺度,时标,时间轴等)的概念,并由此创立了时间模上动态方程(dynamic equations on time scales)的理论.之后,这一新领域内有关问题(特别是时间模上动态方程的振动性等定性理论问题)的研究引起了国内外学术界和科研工作者的极大兴趣,并发表了许多这方面的专著及研究论文,见文献[1-19]及其参考文献.笔者研究时间模上如下一类二阶非线性中立型变时滞泛函动态方程

的振荡性,式中φ(u)=|u|λ-1u(其中λ＞0为实常数);T为任意时间模,且supT=∞.设t0∈T且t0＞0,则定义时间模区间为[t0,∞)T=[t0,∞)TT.方程(1)的解及其振荡性的定义,可参见文献[1-2].本文只讨论方程(1)的最终不恒为零的解.我们考虑如下条件.

(H1)τ,δ∶T→T,满足τ(t)≤t,且并且τ◦δ=δ◦τ.

(H2)τ是严格递增的,˜T=τ(T)⊆T是一时间模,τ◦σ=σ◦τ,且τΔ(t)=τ0＞0,δ(t)≥τ(t).

(H3)A(t)∈Crd(T,(0,∞));B(t)∈Crd(T,R),且0≤B(t)≤b0＜∞(这里b0是非负实常数).

(H4)g∈C(R,R),且ug(u)＞0(u/=0),并且有g(u)/u≤η(u/=0),这里常数0＜η≤1.

(H5)f∈C(T×R,R),uf(t,u)＞0(u/=0),且∃P(t)∈Crd(T,(0,∞))使得|f(t,u)|≥P(t)|u|(u/=0).

关于时间模上中立型动态方程的振荡性,近年来,虽然出现了很多研究成果[8,11-19],但是在这些研究成果中,对中立项的系数函数B(t)都有限制条件0≤B(t)＜1,而当B(t)≥1或者B(t)≤0时方程的振荡准则却几乎没有.本文是文[1]和[2]的继续,文[1]在

且0≤B(t)≤b0＜∞的条件下得到了关于方程(1)的3个新振荡准则,改进了现有文献中对中立项系数函数B(t)的限制条件∶0≤B(t)＜1.但我们注意到,其结果是在0＜λ≤1时得到的,而当λ＞1时其振荡准则显然不成立;文献[2]同样在(C1)成立且0≤B(t)≤b0＜∞的条件下得到了方程(1)当λ≥1时的振荡的3个充分条件,拓广了文献[1]的结果,推广、改进了现有文献中的结论.但另一方面,对于著名的Euler方程

来说,显然不满足条件(C).此外,由于

本文将在条件

且0≤B(t)≤b0＜∞下建立方程(1)的振荡准则,推广并改进现有文献中的结果,统一了相应的微分方程和差分方程的振荡性结论.

1 在条件(C2)下方程(1)的振荡准则

引理1[3]设x(t)是Δ可微的且最终为正或最终为负,则有

引理2[4]设A＞0,B＞0和λ＞0均为常数,则当x＞0时,

引理3[11]若τ(t)是严格递增的,˜T=τ(T)⊆T是一时间模,τ◦σ=σ◦τ.设x∶˜T→R,如果τΔ(t)和xΔ(τ(t))存在(t∈Tk),则(x(τ(t)))Δ存在,且

定理1设条件(H1)—(H5)及(C2)成立,若存在函数φ∈使得当0＜λ≤1时

其中ki＞0(i=1,2,3,4)是常数,函数

则方程(1)在[t0,∞)T上是振荡的.

证明反证法.设方程(1)在[t0,∞)T上有一个非振荡解x(t),不妨设x(t)是最终正解(当x(t)是最终负解时类似地可证),即存在t1∈[t0,∞)T,使得当t∈[t1,∞)T时,有x(t)＞0,x(τ(t))＞0,x(δ(t))＞0.记y(t)=x(t)+B(t)g(x(τ(t))),则当t∈[t1,∞)T时y(t)＞0.由方程(1),得

因此A(t)φ(yΔ(t))在[t1,∞)T上严格递减且最终定号,进而yΔ(t)或者最终为正或者最终为负.所以,我们只需考虑如下两种情形.

情形(a)yΔ(t)＞0(t∈[t1,∞)T).当0＜λ≤1时,由文[1]中定理1的证明,可得到一个与(3)式矛盾的结果;当λ＞1时,由文[2]中定理1的证明,可得到一个与(5)式矛盾的结果,故这种情形方程(1)是振荡的.

情形(b)yΔ(t)＜0(t∈[t1,∞)T).此时,由文献[1]中的定理1(也可由文献[2]中的定理1)的证明过程知,下式仍然成立.

当0＜λ≤1时,根据引理1,可得

定义函数v(t)如下∶

显然有v(t)≤0(t∈[t1,∞)T).

由(7)式不难看出,A(t)φ(yΔ(t))=A(t)(-yΔ(t))λ-1yΔ(t)是单调减少的,因此,当s∈[t,∞)T时,

由(11)式可得

上式对s两边从t到u(u≥t∈[t1,∞)T)积分,可得

在上式中,令u→∞,则有y(t)+A1/λ(τ(t))yΔ(τ(t))ζ(t)≥0,从而可得

于是,应用(10)式,不难得到

另一方面,对(10)式两边求Δ-导数,并注意到(9)、(11)式及yΔ(t)＜0,得

类似地,再定义函数w(t)如下

则同样有w(t)≤0,t∈[t1,∞)T,且

综合(13)和(15)两式,并注意到(8)式,得

再次利用A(t)(-yΔ(t))λ-1yΔ(t)的单调减少性,当s∈[t1,∞)T时,有

这里常数kλ=-A(t1)(-yΔ(t1))λ-1yΔ(t1)＞0.因此A(s)(-yΔ(s))λ≥kλ,亦即yΔ(s)≤-kA-1/λ(s).两边积分,得

上式中,令u→∞,得y(t)≥k(s)Δs=kζ(t),亦即

代入(16)式,得

(17)式两边同时乘以ζλ(σ(t))后再积分,并利用时间模上的分部积分公式

及引理2,再注意到ζΔ(t)=-A-1/λ(t)＜0且[ζλ(t)]Δ≥-λζλ-1(σ(t))A-1/λ(t),可得

于是由上式,并利用(12)和(14)两式,可得

这与(4)式矛盾.

当λ＞1时,讨论完全类似于0＜λ≤1的情形.由引理1,此时(9)式为

就可得到相同的(16)式.

因为y(t)＞0,yΔ(t)＜0(t∈[t1,∞)T),所以y(t)≤y(t1)=k,即y1-λ(t)≥k1-λ.将其代入(16)式,得

类似地(即上式两边同乘以ζλ(σ(t))后再积分,并采用与上面类似的处理方法),可得到一个与(6)式矛盾的结果.所以这种情形方程(1)也是振荡的.定理证毕.

定理2设条件(H1)—(H5)及(C2)成立,若存在函数φ∈C1rd([t0,∞)T,(0,∞))使得当0＜λ≤1时(3)式成立,且

当λ＞1时(5)式成立,且

其中函数ξ(t)和ζ(t)的定义如定理1.则方程(1)在[t0,∞)T上是振荡的.

证明同定理1的证明.当0＜λ≤1时,可得(17)式,将(17)式的t改成s,两边同乘以ζλ+1(σ(s))后再积分,并利用时间模上的分部积分公式,且注意到ζΔ(t)=-A-1/λ(t)＜0, [ζλ(t)]Δ≥-λζλ-1(σ(t))A-1/λ(t),可得

同理,根据(12)式,可得

于是由(20)式,得

这与(18)式矛盾.

当λ＞1时,完全类似地,可得到一个与(19)式矛盾的结果.定理证毕.

注1结合文献[1-2]中的定理2和定理3,运用与定理1和定理2完全相同的方法,可得方程(1)在条件(C2)下的Philos型和Kamenev型振动准则.为节省篇幅,在此就不赘述了.

注2本文在积分R∞t0A-1/λ(s)Δs收敛的情况下给出了方程(1)的振荡准则,去掉了现有文献中对中立项系数函数的限制条件0≤B(t)＜1.从下面例子看出,本文定理改进了现有文献中已有的一些结果.此外,从定理的证明过程可以看出,条件(H2)中的τΔ(t)=τ0还可修改为更一般的形式∶τΔ(t)≥τ0＞0,且这样修改后,文献[1-2]及本文的所有定理均成立.

2 例子

例1考虑二阶微分方程

其中常数γ＞0.显然,这是著名的欧拉(Euler)微分方程.令A(t)=t2,B(t)=0,P(t)=γ,τ(t)=δ(t)=t,λ=1,则τ0=1,b0=0.不难验证条件(H1)—(H5)及(C2)都是满足的.注意到此时T=R,ξ(t)=min{P(t),P(τ(t))}=γ,取φ(t)=t,则当γ＞1/4时,有

因此条件(3)和(4)都满足,于是由定理1知,当γ＞1/4时方程(E1)是振荡的.显然,这与已知的结果完全一致.

注3值得注意的是,因此文献[10]中定理4.3和定理4.4的条件(4.15)、文献[16]的条件(C3)以及文献[18]的条件(4.14)均不满足,所以这些文献中的有关定理都不能用于方程(E1).此外,若将文献[6]中的定理3.5,或者文献[9]中的定理4.3,或者文献[17]中的定理4.3用于方程(E1),只能得到“方程(E1)的每一个解或者振荡或者收敛于零”,这是一个不确定的结果,即不能判定方程的振荡性.其他文献如[1-2,8,11-14,19]中的定理也不能用于方程(E1).

例2考虑时间模T=2Z上的二阶动态方程

这里λ=3,A(t)=t4,B(t)=2+sint,显然,这是一个二阶2-差分方程且具有非线性中立项.由于0＜B(t)=2+sint≤3=b,0

因此条件(H1)—(H5)及(C2)都满足.为了简单,在定理1中取φ(t)=1,则由于ξ(t)=

从而θ(τ(t))

因此,定理1的条件全部满足,于是由定理1知,方程(E2)是振荡的.

注4由于例2中方程的中立项的系数函数不满足条件0≤B(t)＜1,且中立项是非线A-1/λ(s)Δs又是收敛的,所以文献[1-19]中的定理都不能用于方程(E2).

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(责任编辑：林磊)

New results of oscillation for certain second-order nonlinear dynamic equations on time scales

YANG Jia-shan1,2,ZHANG Xiao-jian3
(1.School of Information and Electronic Engineering,Wuzhou University, Wuzhou Guangxi543002,China; 2.Laboratory of Complex System Simulation and Intelligent Computing,Wuzhou University,Wuzhou Guangxi543002,China; 3.Department of Science and Information,Shaoyang University, Shaoyang Hunan422004,China)

oscillation;time scales;functional dynamic equations;variable delay

O175.7

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2017.03.006

1000-5641(2017)03-0054-10

2016-08-28

广西教育厅科研基金(2013YB223);硕士学位授予单位立项建设项目(桂学位[2013]4号);梧州学院2014年校级科研重大项目(2014A003);湖南省教育厅科研项目(10C1189)

杨甲山,男,教授,研究方向为微分方程的理论及应用.E-mail：syxyyjs@163.com.

张晓建,女,讲师,研究方向为微分方程的理论及应用.E-mail：zxj2006a@163.com.