电磁学中几种典型形状的连续带电的带电体的电场强度的求解

孙婷西北师范大学

电磁学中几种典型形状的连续带电的带电体的电场强度的求解

孙婷
西北师范大学

在学习大学物理中电磁学部分中的电场部分时，避免不了要求解一些带电体的电场强度（），而求解带电体的电场强度的方法有很多种，并且离不开运用高等数学中的微积分知识，本文就两种典型的带电体的电场情况做一些讨论。

电场强度；微元法；高斯定理

求解带电体电场强度一般有四种方法：

1、电场的矢量叠加法。

2、微元法。⑴取微元：对于电量连续分布的带电体，我们可以取一个很小的微元，将这个微元当做一个点电荷处理。⑵对称性分析：通过分析带电体产生的电场满足的对称性，可以简化问题。⑶积分：我们将带电体上所有的微元在某点产生的电场强度都加起来。

3、高斯定律。⑴对称性分析：能利用高斯定理求解的问题一般都具有较好的对称性，分析带电体的对称性有利于帮助我们解决问题。⑵选取高斯面：我们所选择的高斯面的方向尽量和电场强度的方向垂直。⑶计算高斯面上的电通量。⑷求高斯面所包围的电荷量。⑸利用高斯定理计算电场强度的大小。

4、带电体的电场强度等于电势的负梯度。

一、利用微元法求解电场

求均匀带电圆环中心轴线上产生的电场强度：

如图1所示为一个半径为R的均匀带电圆环，总电荷量为Q，求距离圆环中心O为x处的电场强度E。

图1

⑴取微元：如图1，我们将圆环分割成一段一段的微小线元dl，每一段线元所带的电荷量为：

图2

微小线元在p点产生的电场强度

⑵对称性分析：圆环轴线上的电场的分布满足镜像对称性，所以在垂直于X轴的分量相互抵消，平行于X轴的分量相互叠加；

⑶积分：

由（3）是可以看出，圆环中心轴线上某点的电场强度只与该点到圆环中心的距离有关。

二、利用高斯定理求解电场的问题

两个同心球面均匀分布着电荷Q1和Q2，求同心球面I、II、III三个区域的电场强度的分布。

分析：⑴对称性分析：该带电体产生的电场满足球对称性；⑵选取高斯面：电场线的方向是沿着同心球的半径呈射线状，所以我们选择以O为圆心的同心球面为高斯面，如图2中虚线所示；⑶计算高斯面上的电通量：对于球面上的任意一个小面元d都与该处的电场强度的夹角，所以高斯面上的电场通量为：

⑷求高斯面内所包围的电荷量：

高斯面I、II、III所包围的电荷量分别是：0 C、Q1、Q1+Q2;

⑸利用高斯定理计算场强的大小

高斯定理：任意一个闭合曲面的电场强度的通量等于该面所包围的电荷量与真空介电常数的比值，即：

所以由于高斯面Ⅰ所包围的电荷量为0，根据高斯定理，区域Ⅰ内的电场强度;

高斯面Ⅱ所包围的电荷量为Q1,由前面的分析知这个高斯面的电通量为：

根据高斯定理：

所以区域Ⅱ的电场强度的大小为：

同理可得区域III的电场强度的大小为：

小结

计算带电体的电场强度时，应选择合适的方法，电场的矢量叠加法更适用于求解两个或两个以上的点电荷的带电体系在空间中某一点产生的电场强度，微元法更适用于求解电荷线状分布的带电体周围的电场强度，而高斯定理更适用于求解有规则形状的电荷面或体分布的带电体周围的电场强度，利用电势的负梯度求解电场的方法并不常用。

[1]赵凯华，陈熙谋.电磁学（第三版）[J].高等教育.1978,11-49.

[2]张之翔.电磁学中几个简单问题里的椭圆积分[A].大学物理.2002,4,21-24.