基于非标准Lagrange函数的动力学系统的Noether-Mei对称性与守恒量*

宋静, 张毅

(1.苏州科技大学数理学院， 江苏 苏州 215009； 2.苏州科技大学土木工程学院， 江苏 苏州 215011)

基于非标准Lagrange函数的动力学系统的Noether-Mei对称性与守恒量*

宋静1, 张毅2

(1.苏州科技大学数理学院， 江苏 苏州 215009； 2.苏州科技大学土木工程学院， 江苏 苏州 215011)

研究基于两类非标准Lagrange函数(指数Lagrange函数和Lagrange幂函数)的动力学系统的Noether-Mei对称性及其守恒量。首先，给出基于指数Lagrange函数和Lagrange幂函数的动力学系统的Noether-Mei对称性的定义与判据；其次，提出由系统的Noether-Mei对称性导致的Noether守恒量与Mei守恒量的存在条件及其形式，给出四个Noether-Mei对称性定理。最后，举例说明结果的应用。

非标准Lagrange函数；Noether-Mei对称性；Noether守恒量；Mei守恒量

动力学系统的对称性与守恒量因其具有重要的数学意义与物理意义，现已成为分析力学一个活跃的研究方向，并在现代数学、力学、物理学中占有及其重要的地位。力学系统的对称性主要有Noether对称性、Lie对称性和Mei对称性，相应的守恒量主要有Noether守恒量、Hojman守恒量和Mei守恒量[1-6]。随着研究的深入，诸多学者对两种以上对称性进行了研究，并已取得一些成果[7-11]。非标准Lagrange函数，又称非自然Lagrange函数，不同于经典的Lagrange函数，它没有动能与势能的明显区分。近年来，对于基于非标准Lagrange函数的动力学系统的研究已经取得一系列成果。Musielak[12-13]研究了耗散系统中获得非标准Lagrange函数的方法及其存在条件，El-Nabulsi[14-15]研究了非线性动力学系统基于两类非标准Lagrange函数的作用量及动力学方程，并将非标准Lagrange函数应用于Friedmann-Robertson-Walker时空中，讨论了非标准Lagrange函数在宇宙学中的影响。张毅等[16-17]研究了基于非标准Lagrange函数的动力学系统的Noether对称性和降阶法。本文研究基于非标准Lagrange函数的动力学系统的Noether-Mei对称性与守恒量，给出系统的Noether-Mei对称性的定义和判据，建立Noether-Mei对称性与Noether守恒量，Mei守恒量之间的联系，给出了四个Noether-Mei对称性定理，并结合具体算例说明了结果的应用。

1 基于指数Lagrange函数的Noether- Mei对称性与守恒量

1.1 Noether-Mei对称性

基于指数Lagrange函数的动力学系统的运动微分方程为[16]

(1)

定义1 对于基于指数Lagrange函数的动力学系统(1)，如果一个对称性既是Noether对称性又是Mei对称性，则称这个对称性为该系统的Noether-Mei对称性。

取时间t与广义坐标qs的无限小变换

(2)

其展开式为

(3)

其中ε为无限小参数，ξ0,ξs为无限小变换的生成元。

假设在无限小变换(2)下，指数Lagrange函数exp(L)变换为

(4)

其中

(5)

如果无限小变换(2)的生成元ξ0和ξs满足方程

(6)

(7)

则相应的对称性为基于指数Lagrange函数的Noether对称性。于是有

(8)

则相应的对称性为基于指数Lagrange函数的动力学系统的Noether-Mei对称性。

1.2Noether-Mei对称性导致的守恒量

定理1 对于基于指数Lagrange函数的动力学系统(1)，Noether-Mei对称性可导致Noether守恒量，形如

(9)

(10)

则系统的Noether-Mei对称性导致Mei守恒量，形如

(11)

证明

1.3 算例

已知某指数Lagrange函数为[16]

(12)

系统的运动微分方程为

(13)

由式(5)可得

(14)

取无限小生成元

(15)

则有

(16)

由式(12)容易验证生成元(15)满足Mei对称性的确定方程(6)，故生成元(15)相应于系统的Mei对称性。由Noether等式(7)得

(17)

将生成元(15)代入式(17)，得

GN=0

(18)

则生成元(15)相应于系统的Noether对称性。因此，生成元(15)是基于指数Lagrange函数的动力学系统的Noether-Mei对称性。据此给出与生成元(15)相应的Mei对称性结构方程

(19)

其中

(20)

由方程(19)和(20)得

GM=0

(21)

由定理2，系统存在Mei守恒量

(22)

式(22)是由基于指数Lagrange函数的动力学系统的Noether-Mei对称性导致的Mei守恒量。再将生成元(15)和规范函数(18)代入式(9)，得到Noether守恒量

(23)

式(23)是由基于指数Lagrange函数的动力学系统的Noether-Mei对称性导致的Noether守恒量。

2 基于Lagrange幂函数的Noether- Mei对称性与守恒量

2.1 Noether-Mei对称性

基于Lagrange幂函数的动力学系统的运动微分方程为[16]

(24)

定义2 对于基于Lagrange幂函数的动力学系统(24)，如果一个对称性既是Noether对称性又是Mei对称性，则称这个对称性为该系统的Noether-Mei对称性。

假设在无限小变换(2)下，Lagrange幂函数L1+α变换为

(25)

如果无限小变换(2)的生成元ξ0和ξs满足方程

(26)

(27)

则相应的对称性为基于Lagrange幂函数的Noether对称性。于是有

(28)

则相应的对称性为基于Lagrange幂函数的动力学系统的Noether-Mei对称性。

2.2Noether-Mei对称性导致的守恒量

定理3 对于基于Lagrange幂函数的动力学系统(24)，Noether-Mei对称性可导致Noether守恒量，形如

(29)

(30)

则系统的Noether-Mei对称性导致Mei守恒量，形如

(31)

证明

2.3 算例

已知某Lagrange幂函数为

(32)

取α=1时，系统的运动微分方程为

(33)

由式(5)可得

(34)

取无限小生成元

(35)

则有

(36)

由式(33)容易验证生成元(35)满足Mei对称性的确定方程(26)，故生成元(35)相应于系统的Mei对称性。由Noether等式(27)得

(37)

将生成元(35)代入式(37)，得

GN=0

(38)

则生成元(35)相应于系统的Noether对称性。因此，生成元(35)是基于Lagrange幂函数的动力学系统的Noether-Mei对称性。据此给出与生成元(35)相应的Mei对称性的结构方程

(39)

其中

(40)

由方程(39)和式(40)得

GM=0

(41)

由定理4，系统存在Mei守恒量

(42)

式(42)是由基于Lagrange幂函数的动力学系统的Noether-Mei对称性(35)导致的Mei守恒量。将生成元(35)和规范函数(38)代入式(29)，得到Noether守恒量

(43)

式(43)是由基于Lagrange幂函数的动力学系统的Noether-Mei对称性导致的Noether守恒量。

3 结 论

本文给出了基于非标准Lagrange函数的动力学系统的Noether-Mei对称性，它既是系统的Noether对称性又是Mei对称性。由Noether-Mei对称性可以得到Noether守恒量和Mei守恒量。文中基于非标准Lagrange函数的动力学系统的Noether-Mei对称性推导出四个关于Noether守恒量和Mei守恒量的定理。本文的方法与结果具有普遍意义，可以推广到其他约束力学系统。

[1] 梅凤翔. 李群李代数对约束力学系统的应用[M]. 北京: 科学出版社, 1999.

[2] 梅凤翔. 约束力学系统的对称性与守恒量[M]. 北京: 北京理工大学出版社, 2004.

[4] HOJMAN S A. A new conservation law constructed without using either Lagrangians or Hamiltonians[J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1992, 25: 291-295.

[5] 王树勇，梅凤翔. 相空间中完整约束系统的形式不变性[J]. 中山大学学报(自然科学版), 2002, 41(6): 10-13. WANG S Y, MEI F X. Form invariance of holonomic systems in phase space[J]. Acta Scientiraum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2002, 41(6): 10-13.

[6] 张毅. 相空间中类分数阶变分问题的Noether对称性与守恒量[J]. 中山大学学报(自然科学版), 2013, 52(4): 45-50. ZHANG Y. Noether symmetry and conserved quantity for a fractional action-like variational problem in phase space[J]. Acta Scientiraum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2013, 52(4): 45-50.

[7] 方建会，丁宁，王鹏. 非完整力学系统的Noether-Lie对称性[J]. 物理学报, 2006, 55(8): 3817-3820. FANG J H, DING N, WANG P. Noether-Lie symmetry of nonholonomic mechanical system[J]. Acta Physica Sinica, 2006, 55(8): 3817-3820.

[8] 刘仰魁, 方建会. 相空间中变质量力学系统Lie-Mei对称性的两个守恒量[J]. 物理学报, 2008, 57(11): 6699-6703. LIU Y K, FANG J H. Two types of conserved quantities of Lie-Mei symmetry for a variable mass system in phase system[J]. Acta Physica Sinica, 2008, 57(11): 6699-6703.

[9] 王雪萍, 张毅. Birkhoff系统的Noether-Mei对称性与守恒量[J]. 中山大学学报(自然科学版), 2016, 55(4): 53-55. WANG X P, ZHANG Y. Noether-Mei symmetry and conserved quantity of Birkhoffian system[J]. Acta Scientiraum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2016, 55(4): 53-55.

[10] FANG J H, LIU Y K, ZHANG X N. New conserved quantities of Noether-Mei symmetry of mechanical system in phase space[J]. Chinese Physics B, 2008, 17(6): 1962-1966.

[11] XIE Y L, JIA L Q. Special Lie-Mei symmetry and conserved quantities of Appell equations expressed by Appell function. Chinese Physics Letters, 2010, 27(12): 120201.

[12] MUSIELAK Z E. Standard and non-standard Lagrangians for dissipative dynamical systems with variable coefficients [J]. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2008, 41(5): 295-302.

[13] MUSIELAK Z E. General conditions for the existence of non-standard Lagrangians for dissipative dynamical systems [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2009, 42(5): 2645-2652.

[14] EL-NABULSI R A. Non-linear dynamics with non-standard Lagrangians [J]. Qualitative Theory of Dynamical Systems, 2013, 12(2): 273-291.

[15] EL-NABULSI R A. Nonstandard Lagrangian cosmology[J]. Journal of Theoretical and Applied Physics, 2013, 7(1): 1-12.

[16] ZHANG Y, ZHOU X S. Noether theorem and its inverse for nonlinear dynamical systems with nonstandard Lagrangians[J]. Nonlinear Dynamics, 2016, 84(4): 1867-1876.

[17] 周小三, 张毅. 基于非标准Lagrange函数的动力学系统的Routh降阶法[J]. 力学季刊, 2016, 37(1): 15-20. ZHOU X S, ZHANG Y. Routh Method of reduction for dynamical systems with non-standard Lagrangians[J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2016, 37(1): 15-20.

Noether-Mei symmetry and conserved quantity for dynamical systems with non-standard Lagrangians

SONGJing1，ZHANGYi2

(1.College of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009, China; 2.College of Civil Engineering, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215011, China)

This paper focuses on studying the Noether-Mei symmetry and the conserved quantity for dynamical systems with non-standard Lagrangians (exponential Lagrangians and power law Lagrangians). Firstly, The definition and the criteria of Noether-Mei symmetry for dynamical systems with non-standard Lagrangians are given. Secondly, The conditions that Noether-Mei symmetry leads to Noether conserved quantity or Mei conserved quantity and the form of conserved quantities are put forward. And four theorems for Noether-Mei symmetry and conserved quantities are established. Two examples are given to illustrate the application of the results.

non-standrad Lagrangian; Noether-Mei symmetry; Noether conserved quantity; Mei conserved quantity

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.03.004

2016-10-08 基金项目： 国家自然科学基金(11272227，11572212)；苏州科技大学研究生科研创新计划(SKYCX16_12)

宋静(1992年生)，女；研究方向：力学中的数学方法；E-mail: sandyquiet@hotmail.com

张毅(1964年生)，男；研究方向：动力学与控制；E-mail: zhy@mail.usts.edu.cn

O316

A

0529-6579(2017)03-0026-05