善用“变与不变”范式，深层建构“分数”内涵

陈军艳

摘要：同一个教室，同一位教师，同一个知识点，不同的学生领悟到的本质内涵、掌握的层次和效果存在千差万别，这都源于学生对于知识的本质属性以及这些属性之间关系的体验方式和识别路径有区别。因此，如何让学生在课堂中有效地识别到“知识的本质属性及它们之间的关系”就显得尤为重要。本文将以分数的意义的建构为例，采用多种“变与不变”的范式，将“平均分”“单位‘1”“分母、分子”这些关键的本质属性剥离出来，在变易的思辨过程中提升学生对这些本质属性及它们之间关系的认知空间，从而深层建构分数的内涵。

关键词：变与不变；分数；本质属性

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）06-0107

“变”与“不变”是辩证存在的，“变”是绝对的，而“不变”是相对而言。 “不变”之中存在着“可变”，“可变”之处又不断揭示着“不变”。

——题记

课堂不仅是跑道，更是学习、奔跑的过程，期间充满了无穷的变易。众所周知，相同的教师相同的课堂，不同的学生对同一知识点的体验方式不同，领悟到的知识点的本质也不一，掌握层次和学习效果自然就不一样。那些能够清楚认识到教学内容的关键本质属性以及这些属性之间关系的学生理解会到位得多。因此，作为教师，课堂上最为关键的就是能设法让学生识别到“事物本质属性与非本质属性及它们之间的关系”，并尽可能通过必要的“变与不变的范式”，让学生体验哪些方面变化，哪些方面保持不变，从而去开启学生思辨和学习的认识空间，让学生能在种种显现和潜在的变易中识别出知识点的关键属性，进而深刻领悟知识的内涵与本质。

分数的意义对于小学生来说是比较抽象的概念，五年级《分数的意义》一课主要是使学生经历概括分数意义的过程，理解分数表示多少的相对性，体会整体与部分的关系。那么，怎样让学生全方位、多角度体验“平均分”，进而深入感悟“单位‘1”，理解“分母分子”的含义，无疑是学生抽象、归纳出分数的意义的基础，也是教学中难啃的硬骨头。

本文将从变易理论的角度，以多元化的活动为载体，就如何用“变与不变的范式”引导学生识别分数的本质属性，主动建构分数的意义给予全新的诠释。

一、低起点、细观察，深入体验“平均分”

古语有云：“重复是学习之母。”学习，本身就是不断重复的过程，但并不是说学习能从一成不变的简单重复中产生，重复中求新需要依靠变式的支撑。学生在全面认识分数的意义之前，已经初步认识了分数，尤其对“平均分”有了一定的认识，在此基础上我们不再是单纯地让学生分物体，而是在课前安排了下面的活动，也正期待学生在看似重复的学习活动中体验“变与不变”的地方，识别出知识的本质属性。

【课前活动】请选择你喜欢的图，用你喜欢的方式表示出它的1/4。

（课前检查中发现，学生基本都选择前三个图来完成涂色。）

师：为什么你们都喜欢前面的三幅，不喜欢最后一幅？

生1：因为第4幅图没有平均分。

生2：选第4幅表示不了1/4。

【思辨“变与不变”】

A. “不变”的是4个完全一样的正方形，“变”的是4种不同的分法；

B. 所有图形都被分成4个部分，而且前三幅是平均分，第四幅不是平均分。

此活动中采用对比这一范式，让学生在自由选择、创作、分享的过程中，在“变与不变”的思考中再次感受到：如果分的几份中每一份的大小不一样，其中的一份是不能随便用几分之一表示的；只有平均分成4份中的其中一份才能用分数1/4 来表示，从而让学生更深入地体验“平均分”的内涵。

二、慢渗透、重过程，透彻感悟“单位‘1”

禅语有云：看山是山；看山不是山；看山仍然是山。教学亦当如此。“走进教材、走出教材、让教材走进内心”，唯有如此，才能将教材内化加工，重新创造，方能达到“信手拈来，为我所用”的境界。在学生对“平均分”这个关键属性有了深入体验后，我们大胆而科学地对教材重组，从多个角度设计了较为开放的活动，为孩子逐層感悟“一个整体”、抽象出单位“1”提供了多元学习材料。

1. 自主创作，初步感知“一个物体表示一个整体”

【课堂活动1】“想一想”：除了这三幅图，你还能用其他形式说明1/4的含义吗？（展示学生画图作品如下）

师（指着作品1）：这个1/4是怎么来的？

生：就是把这个圆形平均分成4份，其中的1份就是1/4。

师（出示后三幅图）：这些形状、大小各不相同，都能用1/4来表示？为什么？

生：能。因为都是把这个物体平均分成4份，取的都是其中1份，所以都是这个物体的1/4。

师适时小结：也就是说无论什么形状、大小如何，只要是把这个物体（或图形）平均分成4份，取其中的1份就是这个物体的1/4。

【思辨“变与不变”】

A. 学生表示1/4的方式和手段在变化，有的是语言描述，有的是画图表示；“不变”的是其目的都是为了表示1/4。

B. 画图中不断变化的是选取的素材（平面图形，线段，实物等），“不变”的是都将这些素材平均分成4份，涂了或取了其中的1份。

此活动学生充分发挥自己的主观能动性，自由提供了不同的表示方法，同时也为大家提供了多种“均分对象”，在汇报和展示的过程中引导学生去关注保持不变的方面，在思考中领悟：“无论是一个图形、一条线段，还是一个蛋糕，原来都是将一个整体来平均分呀”，从而初步感知在数学上“一个物体表示一个整体”的表象。

2. 巧设冲突，自然生成“把多个物体看作一个整体”

【课堂活动2】“猜一猜”：用一张长方形纸遮住其中一部分，露出的红色三角形是一个整体的1/4，你能想象这个整体是什么样子的吗？能把你的想法画出来吗？

生1（指着图（1））：一个三角形是一个整体的，我认为这里一共有4个同样的三角形，（停顿2秒），但是这4个同样的三角形不能随便连在一起，我就拼成了一个大的三角形，这样看起来会整齐一些、规则一些。

生2（指着图（2））：因为阴影部分的三角形是整体的，我觉得只要是4个这样的三角形就是这个整体了。

师追问：你说只要是4个同样的三角形就是这个整体了，所以画成这样，那我画成这样呢？（出示图（3））几秒静寂，生小声议论，基本都认定不行。

生1：这里的4个三角形不是一个整体，是4个。（众生沉默）

生2：我觉得其实也不一定非得是连着的整体的，也可以是4个分着的。

生3：我认为这样画应该也可以，可以把4个三角形看成一个整体。

师故作疑惑：可是怎么看都更像4个三角形，不像一个整体。

生：把这4个三角形放到一个圈里。

师出示图（4）：真是这样，数学家们也是这样想的，这个圈就叫做集合圈。圈起来，这4个三角形就是一个整体啦。

【思辨“变与不变”】

A. 学生所还原的“整体”的图形在变化，但是不变的是都还原出4个完全一样的三角形，而且这4个三角形组成一个图形（大三角形或平行四边形）。

B. 教师呈现的图（3）是4个独立的三角形，与学生所还原的“一个整体”不一样；但还原的三角形都与红色的三角形完全一样，这一点是保持不变的。

有一种领悟，叫“柳暗花明”。此活动教师适时制造认知冲突，呈现“4个垂直摆放、相互独立的三角形”，打破学生的已有认知“这个整体是由四个完全一样的三角形组成，而且还得拼成一个完整的图形”，让学生在“变与不变”的冲击下获取丰富的感性认识，从混沌的状态中认知到“不但一个物体可以表示一个整体，多个物体或者说一些物体也可以看做一个整体”，这个整体数学上称之为单位“1”。同时也让学生深刻体验到虽然还原的这个整体呈现的方式各不一样，但无论是拼成的一个图形还是独立的4个三角形，其核心本质是不变的，那就是：都是把单位“1”平均分成4份，露在外面的红色三角形就是其中的1份，也就是它的1/4。此活动中，教者不时捕捉到孩子眼睛里闪烁的点点光亮，不容置疑，如醍醐灌顶的顿悟已然蔓延。

3. 变换角度，纵深诠释“单位‘1的内涵”

【课堂活动3】圈一圈，分一分：把你发现的1/4涂上颜色。

生独立完成，师收集作品，展示后学生逐一汇报。

师适时追问：这1片花瓣、1朵花、2朵花，为什么都能表示1/4呢？共同点在哪？不同的地方又在哪呢？

生1：都是平均分成了4份，涂了其中的1份。

生2：这几个同学选择要分的花的朵数不一样。

师追问：那也就是什么不同？

众生：整体不同。

师：整体不同，所对应的每一份也不同。但无论怎样不同，都是把这个整体看作单位“1”，将它平均分成4份，取其中的1份，这一份都能用来表示。

【思辨“变与不变”】

A. 学生选择的单位“1”所对应的对象在变化，有的是1朵花，有的是4朵花、8朵花；不变的是都是将选择的整体平均分成4份，涂了其中的1份。

B. 由于平均分的对象在不断变化，即单位“1”在变化，所对应的每一份也随着变化；但不变的是每一份都始终表示着这个整体的1/4。

有一种成长，叫“峰回路转”。这个活动激起了学生强烈的求知欲，为各个层次的学生留足了思考的时间和空间，让学生生成了很多精彩，对单位“1”的认知从混沌走向清晰。学生在操作、交流中观察到变化的地方，同时关注到保持不变的方面，在对“变与不变”的思辨中领悟到：无论均分的对象是“1朵花”“4朵花”还是“8朵花”，这个单位“1”如何不同，都是将其平均分成4份，表示这样的1份，所以，无论这1份是一片花瓣、1朵花还是2朵花，都可以用1/4来表示。此时教师顺势引导学生再次仔细观察大家的作品，感悟其中变化的因素，学生从不同的角度思考归纳出：原来平均分的整体不同，对应的1/4也不同，从而多个角度地帮助孩子理解单位“1”的内涵。

三、巧设计、重感知，巧妙阐释“分母、分子”

有这样一句话：“我听过了，就忘记了；我见过了，就记住了；我做过了，就理解了。”是的，只有亲自参与在有效的数学活动中，学生才能不断地积累经验，提升观察、验证及推理概括的能力，从而促进学生思维的发展。在学生对单位“1”有了纵深的感悟之后，创设活动平台，继续剥离分数的本质属性。

【课堂活动4】把如图的6只小船看作一个整体，创造出喜欢的几分之一。

学生汇报出1/6、1/3、1/2的图，

追问：这里涂了3只小船呀，应该是3/6吧？生1：是。

师：从图中你怎么一眼就看出是，而不是呢？

生1：把这6只小船看成一个整体，这里平均分成了2份，1份就是3只小船，这3只小船就是这2份中的1份，也就是 。

生2：我觉得跟涂了几只小船没多大关系，跟分的份数和取的份数才有关系。

师：说得非常好！大家觀察1/6、1/3、1/2 ，你们发现了什么？

生：平均分成几份，分母就是几。

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师（指着1/6的作品）：如果现在再涂一只小船，就是……（2/6）；再涂一只呢？（3/6）；继续往下涂呢？你发现了什么？

生：涂几只小船，就是六分之几，也就是分子就是几。

生顺势归纳：分母就是平均分的份数，分子就是取的份数。

【思辨“变与不变”】

A. 不变的是都是把6只小船看作一个整体；变化的是平均分的份数不一样。

B. 当平均分的份数不一样时，分母在不断变化；可是不变的是取的份数一样，比如只取1份时，分子都是一样的。

C. 当分的份数不变，分母保持不变；此时取的份数发生变化，分子也变了。

学生的发展是动态的过程，分母和分子是分数意义中极为关键的本质属性，这里让学生在有序的反馈、思维的碰撞中，逐层剥离：观察1/6、1/3、1/2，引导学生关注到分子不变时、分母这个变化维度，适时识别出“平均分成几份，分母就是几”这个本质属性；同时基于1/6教师适时追问：继续涂还可以是几分之几？让学生联想到……，自然关注到分母不变时、分子随着取的份数而变化这个表象。在此“变与不变”的思辨中，数学的抽象美、归纳美得到充分展现。

“变易”的过程就是教师不断创新的过程，学生不断思考的过程，教学不断彰显审美化的过程。这是一种思想与方法，也是一种水平与能力，更是一种专业追求。只要充分挖掘教材、读懂学生、用心思考，教学中对学习内容的“本质属性与相关属性”处理模糊的现象终将得到质的改变，我们的数学课堂也一定会在“变与不变”中告别不温不火的无奈，释放出真正的精彩！

参考文献：

[1] 植佩敏，马飞龙. 如何促进学生学习——变易理论与中国式教学[J].人民教育，2009（8）.

[2] 曹洪辉，李友中，冯子旭.运用“变易理论”改革数学教学[J].小学数学教育，2013（11）.

[3] 义务教育教科书.教师教学用书[M].北京：人民教育出版社，2014.

（作者单位：广东省东莞市南城阳光第六小学 523000）