关于不定方程x2+4n=y13(n=4,5,6)的整数解

尚旭

(浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

关于不定方程x2+4n=y13(n=4,5,6)的整数解

尚旭

(浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

在高斯整环中,利用代数数论与同余理论的方法,讨论了不定方程

的整数解问题,得出了当n=4,5时无整数解;n=6是仅有整数解

的结论,推进了不定方程整数解的研究.

代数数论;整数解;不定方程

1 引言

设A、B∈N,A无平方因子,关于不定方程

解的问题是数论中的一个重要问题,近些年文献 [1-10]用代数数论的方法研究了一些不定方程的整数解问题,得到了许多重要的结果,推进了不定方程整数解问题的研究.而对于A=1,B=44,45,46,n=13情况为曾说明,为此利用代数数论和同余的方法给出不定方程x2+4n=y13(n=4,5,6)整数解的结论和证明.

引理 1.1[11]设M 是惟一分解整数环,正整数k≥2,以及 α,β∈Z,(α,β)=1,αβ=τk,τ∈M则有

其中ε1,ε2是M 中的单位元素,并且

ε为单位元素.

2 主要结果与证明

定理2.1不定方程

无整数解.

证明分两种情况来讨论.

(1)当x≡1(mod 2)时,则在Z[i]中,(2)可以等价为

然而这与x≡1(mod 2)产生矛盾,所以η=1.

由此和引理1.1有

因而

由 (4)式得

当 b=1时,由 (4)式,得

当 b=-1时,由 (4)式,得

当 b=2时,由 (4)式,得

上式要成立,需

显然不可能,故当b=2时不成立.

当 b=-2时,由 (4)式,得

上式要成立,需13|-4104,显然不可能,故当b=-2时不成立.

当 b=4时,由 (4)式,得

上式要成立,需

显然不可能,故当b=4时不成立.

当 b=-4时,由 (4)式,得

上式要成立,需

显然不可能,故当b=-4时不成立.

当 b=8时,由 (4)式,得

上式要成立,需

显然不可能,故当b=8时不成立.

当 b=-8时,由 (4)式,得

上式要成立,需

显然不可能,故当b=-8时不成立.

当 b=16时,由 (4)式,得

上式要成立,则

当a2=1时,代入上式中得

所以a2=1不成立.

当a2=9,代入上式中得

所以a2=9不成立.故当b=16时不成立.

当 b=-16时,由 (4)式,得

上式要成立,需

显然不可能,故当b=-16时不成立.所以当x≡1(mod 2)时,不定方程

无整数解.

(2)当x≡0(mod 2)时,易知x为偶数,y为偶数,令

无整数解.

综上所述,不定方程(2)无整数解.

定理2.2不定方程

无整数解.

证明分两种情况来讨论.

(1)当x≡1(mod 2)时,则在Z[i]中,(10)可以等价为

将其代入(15)式中得(2x4)2+42=27(y1)13.得

易知x4为偶数,令 x4=2x5,x5∈Z.将其代入(16)式中得(2x5)2+4=25(y1)13.得

易知x5为奇数,令 x5=2x6+1,x6∈Z.将其代入 (17)式中得(2x6+1)2+1=23(y1)13.得

(18)式等号左边2(x6)2+2x6+1≡1(mod 2),而右边22(y1)13≡0(mod 2),所以产生矛盾.所以当x≡0(mod 2)时,不定方程x2+45=y13无整数解.

综上所述,不定方程(10)无整数解.

定理2.3不定方程

仅有整数解(x,y)=(±64,2).

证明分两种情况来讨论.

(1)当x≡1(mod 2)时,则在Z[i]中,(19)可以等价为

即2|x2+46,然而这与x≡1(mod 2)产生矛盾,所以η=1.

由此和引理1.1有

64=b(13a12-286a10b2+1287a8b4-1716a6b6+715a4b8-78a2b10+b12). (21)由 (4)式得

当 b=1时,由(21)式得

当 b=-1时,由(21)式得

上式要成立,则a2=1.将a2=1代入上式得

上式成立,则

将 a2=1,b=-1代入 (20)式解得x=±64,然而这与x≡1(mod 2)矛盾,故不成立.故当b=-1时不成立.

当 b=2时,由(21)式得

上式要成立,需13|-4064,显然不可能,故当b=2时不成立.

当 b=-2时,由(21)式得

上式要成立,需

显然不可能,故当b=-2时不成立.

当 b=4时,由(21)式得

上式要成立,需

显然不可能,故当b=4时不成立.

当b=-4时,由(21)式得

上式要成立,需

显然不可能,故当b=-4时不成立.

当b=8时,由(21)式得

上式要成立,需

显然不可能,故当b=8时不成立.

当b=-8时,由(21)式得

上式要成立,需

显然不可能,故当b=-8时不成立.

当b=16时,由(21)式得

上式要成立,需

显然不可能,故当b=16时不成立.

当b=-16时,由(21)式得

上式要成立,需

显然不可能,故当b=-16时不成立.

当b=32时,由(21)式得

上式要成立,需

显然不可能,故当b=32时不成立.

当b=-32时,由(21)式得

上式要成立,需

显然不可能,故当b=-32时不成立.

当b=64时,由(21)式得

上式要成立,则

当a2=1时,代入上式中得

所以a2=1时不成立.当a2=9时,代入上式中得

所以a2=9时不成立.故当b=64时不成立.

当 b=-64时,由(21)式得

上式要成立,需

显然不可能,故当b=-64时不成立.所以当x≡1(mod 2)时,不定方程

无整数解.

3 结语

不定方程的整数解问题是一个悠久的研究课题,许多数学家都有所研究，推进了不定方程整数解问题的发展,本文研究了x2+4n=y13(n=4,5,6)的整数解问题,得出了不定方程x2+4n=y13,当n=4,5时无整数解,当n=6时仅有整数解(x,y)=(±64,2)的结论和证明,接下来希望可以进一步研究不定方程的整数解问题.

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[6]张杰.关于不定方程x2+64=y7的解的讨论[J].庆工商大学：自然科学版,2012,29(3)：27-28.

[7]安晓峰.关于不定方程x2+64=y11的解的讨论[J].庆工商大学：自然科学版,2014,31(10)：16-17.

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The integer solution on Diophantine equation x2+4n=y13(n=4,5,6)

Shang Xu

(College of Mathematics,Physics and Information Engineering,Zhejiang Normal University,Jinhua 321004,China)

In the Gauss domain,using the method of algebraic number theory and congruence theory,we discuss the problem of integer solution of Diophantine equation x2+4n=y13(n=4,5,6).We obtained when n=4,5,x2+4n=y13has no integer solution,when n=6,x2+4n=y13has only integer solution(x,y)=(±64,2),which advanced the study of Diophantine equation.

algebraic number theory,integer solution,Diophantine eqution

O156;O156.2

A

1008-5513(2017)04-0377-15

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.04.006

2017-05-01.

国家自然科学基金(11171137);浙江省自然科学基金(LY13A010008).

尚旭(1989-),硕士生,研究方向：初等数论与算子代数.

2010 MSC:11D45