高中数学二次函数的三个教学阶

段曹静

【内容摘要】二次函数是高中数学函数知识学习中的基本内容。在学生已有的基础上，让学生进行知识梳理以形成清晰的知识结构，并做好初高中衔接的准备工作，可以让学生在自主学习中发现函数的单调性等知识，并发现单调性所对应的定义域。这种精加工的结果可以根除传统教学中通过机械重复来强调定义域重要性的弊端，从而保证了相关知识进入学生的长时记忆。

【关键词】高中数学 二次函数 教学阶段

二次函数是高中函数教学中最基本的函数之一，学生在初中阶段已经初步学过该函数的知识。到了高中阶段，要进行更全面的认识，而这个基础就是学生已有的知识系统。因此这一知识的教学既具有管窥初高中数学教学衔接的作用，也能体现高中数学的基础性特征。笔者梳理了二次函数的高中教学要求，同时结合高中生的认知特点，以为该教学可以分为三个阶段。

一、原知识梳理阶段

美国著名教育家奥苏泊尔对教育心理学有一句精辟的描述，“如果要我将全部教育心理学归纳为一句话的话，那我将说，要弄清学生已知的并据此进行教学。”这里，奥苏泊尔所说的“学生已知的”，实际上就是指学生的原有知识基础，我国高中数学教学有一个优良的传统，那就是新课教学之前必定要帮学生复习旧知，这实际上就是奥苏泊尔教育理念的一种实践。

高中阶段二次函数知识的构建可以有两个教学思路：一是直接面向新知识的教学，在需要旧知识基础的时候再行回顾；二是梳理好原来的知识基础，然后引导学生构建新知识。笔者喜用后者，因为这一思路可以帮学生清晰地重现原有知识，从而为高中阶段二次函数知识的学习提供基础，从而也就保证了学习过程中学生自主性的发挥——自主学习是高中数学教学中亟需培养的能力！

二、初高中衔接阶段

所谓的初高中衔接，实际上就是学生在已有知识的基础上，寻找新知识建构的“锚”——教育心理学中有一个著名的“抛锚式”教学理论，这一理论最大的建树就是强调原有知识对于新知识所能发挥的作用。二次函数显然是可以借助这一理论来实施教学的，但有一个关键，那就是让学生能够站在原有知识的基础上寻找新知构建的方向。笔者的做法是这样的：

首先，从二次函数的图象即抛物线与平面直角坐标系上x轴的交点与y轴的关系，来帮学生进一步认识二次函数的图象特征。而分析的结果自然是四种：一是抛物线与x轴的交点在y轴的同一侧，而这意味着对应的二次方程有两个相同符号的根；二是抛物线与x轴的交点在y轴的两侧，这意味着两根符号相反；三是交点正好在原点，意味着一个根；四是与x轴没有交点，无解。这一教学环节的作用在于让学生对二次函数的理解简洁化，从而可以为新知构建清除干扰。

其次，引导学生初步感知抛物线的相关性质。比如说从抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标角度认识抛物线，而这些都是学生相对熟悉的，在刚才第一阶段的梳理中也已经遇到过的，因而就不会有太大的认知问题。然后，再让学生初步思考在抛物线对称轴两边判断y值随x值的变化而变化的情况，尤其是要思考这个变化过程中出现的“最值”——这个时候，增减性与最值的概念不要直接出现，只要让学生感受这个意思即可。实践表明，这一努力是完全有效的，不需要教师太多的引导，学生即能发现这样的规律，只是这个时候学生的发现更多的还是经验性的，还缺少更多的数学语言的精确描述，但这已经足够的，已经可以为第三阶段的教学提供基础了。

再次，基于以上两個基础，让学生从抛物线的平移角度初步感知其平移规律，并让学生基于上面的第二点，去掌握相应的二次方程的根的分布情况。然后在韦达定理复习的基础上进一步分析抛物线所对应的一元二次方程ax2+bx+c=0 的根与系数满足的条件（具体可以用表格来呈现，七行五列的表格，除了左上角单元格外，六行分别是根的六种组合情况，四列分别是Δ、两根之和、两根之积、结论。限于篇幅，表格略去。）

三、新知识构建阶段

新知建构阶段，主要是学生的自主建构过程。这个过程中的主要任务就是二次函数图象的单调性，因为单调性的理解与建立是需要用到学生的形象思维与抽象思维的，两种思维方式同时作用，可以为单调性的建立提供保证（相比较而言，奇偶性更多的是逻辑推理的结果）。

在实际自主建构的过程中如果注意观察学生，就会发现学生在此过程中，能够有意识地基于二次函数的图象，去发现单调性，尤其是还能够自主发现单调增减所对应的定义域，而这是传统教学中需要教师着力强调且学生还总是容易忽视的一个内容。

事实上，高中二次函数学习的一个主要特征，就是定义域的形式变化，由一个个区间组成的定义域已经超越了原有的所有实数，而由此衍生的则是二次函数的静态理解向动态理解的过渡。经由上述三个阶段，这样的理解是可以顺利建立的。

同时，这也可让数学教师认识到，对于像二次函数这样的基础性特征比较明显的知识，完全可以在帮学生梳理已有知识的基础上，让学生进行自主性学习，且其中由学生所发现的一些数学知识，往往可以因发现过程丰富而印象深刻，这从记忆的角度来看，就是精加工过程保证了数学知识进入了学生的长时记忆。

【参考文献】

[1] 吴新建. 关于初高中数学衔接的思考——以高中二次函数教学为例[J]. 中学数学月刊，2014（7）：18-19.

[2] 彭兴健. 以二次函数为切入点做好初高中数学衔接教学[J]. 数学教学通讯，2009（36）：13-14.

（作者单位：江苏省南通市第二中学）endprint