一种稀疏重建的多基地雷达多目标定位算法*

(乐山师范学院 物理与电子工程学院，四川 乐山 614000)

一种稀疏重建的多基地雷达多目标定位算法*

樊 玲**

(乐山师范学院 物理与电子工程学院，四川 乐山 614000)

采用距离和信息的多基地雷达多目标投影定位算法中，距离向脉冲压缩后分辨率降低，需要已知空间中目标个数。针对此问题，提出了一种稀疏重建的多基地雷达多目标定位方法。该方法利用多个接收机中目标稀疏度相同的特点，通过构造平均重构残余误差变化率和平均散射系数变化率作为正交匹配追踪(OMP)算法迭代终止判定条件，自适应地终止OMP算法的同时获得稀疏重建信号以及信号稀疏度的估计值，提高了距离向分辨率，获得了对空间中目标个数的估计。仿真实验表明所提算法有效抑制了距离向主瓣展宽和旁瓣串扰，提高了距离向分辨率。同时，所提算法在不同噪声环境下能准确估计空间中目标个数并提取其空间位置，实现对空间中目标的准确定位。

多基地雷达；多目标定位；距离和；稀疏重建；自适应正交匹配追踪

1 引 言

多基地雷达多目标跟踪是多基地雷达系统应用研究的关键技术之一。在多个目标环境下，如何有效融合多个传感器的量测信息，提高目标探测的精度和可靠性是其中的一个热点。

现有的多目标跟踪算法大致可以分为基于数据关联技术的多目标跟踪算法和基于随机集理论的多目标跟踪算法两大类。基于数据关联技术的多目标跟踪算法是研究最早最成熟的一类，典型的数据关联算法包括多级假设跟踪(Multiple Hypotheses Tracking,MHT)[1]、交互式多模型[2]、联合概率数据关联(Joint Probabilistic Data Association,JPDA)[4]等。基于随机集理论的多目标跟踪算法由于无需复杂的数据关联，近年来受到了广泛关注[5-6]。但上述方法多是基于二维或三维的传感器量测信息。当传感器仅能获取目标的一维量测信息，例如使用泛光波束探测空间的多基地雷达系统，各接收站仅能获取目标的距离和信息，多目标跟踪问题更为复杂：一方面， 候选回波的组合数随传感器和目标数目的增长成几何级数增长，数据关联是NP难问题；另一方面，量测方程的非线性使得基于后验概率的随机集多目标跟踪无法适用。

针对上述问题，文献[7]提出了一种基于双程距离(Bistatic Range,BR)空间投影的多基地雷达多目标定位方法，首先采用BR空间投影算法将多个接收机接收的距离和信息投影到三维图像空间，再采用贪婪消除定位(Positioning Via Greedy and Cleaning,PGC)算法从三维图像空间中提取目标空间位置信息，实现空间中多个目标的定位。其三维分辨率分别由接收机阵列和线性调频信号决定：接收机阵列看作二维稀疏阵列，获得二维分辨率；接收机对线性调频信号进行脉冲压缩，获得距离向分辨率。该算法在避免复杂数据关联问题的同时，具有较高的定位精度和可靠性。但是，该方法中有两个关键问题需要进一步探讨。其一是未考虑脉冲压缩后的旁瓣串扰问题(文献[7]中将距离和向上脉冲压缩后回波信号简单近似为矩形脉冲)。距离和向回波信号脉冲压缩后，由于高散射系数目标的主瓣展宽和旁瓣串扰，降低了距离向分辨率，BR空间投影时产生虚假目标。因此，有必要进一步讨论如何抑制旁瓣串扰问题。其二是未给出PGC算法终止门限的设定方法。由于PGC算法迭代次数决定了从图像空间提取的目标个数，即多基地雷达多目标投影定位算法输出的目标个数，迭代次数大于真实目标个数将产生虚假目标，迭代次数小于真实目标个数产生漏检。因此，有必要进一步讨论PGC算法终止条件。

考虑到多基地雷达多目标定位中，目标在空间是稀疏的，因此，可采用稀疏重建技术消除旁瓣，提高距离向分辨率。稀疏重构算法是压缩传感稀疏信号处理理论的核心，算法可分为三大类：贪婪追踪算法[8]、凸松弛算法[9]和组合算法[10]。其中，基于贪婪迭代的正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)算法因其算法结构简单、运算量小的优点，是目前最受关注的稀疏重构算法之一[8,11]。但是，OMP算法应用于多基地雷达多目标投影定位时，首先因为噪声的存在，难以设定合适的残差门限终止算法；其次，由于目标个数的未知，实际稀疏度也是未知的，采用预设稀疏度终止算法时，预设稀疏度过小，影响重建精度；预设稀疏度过大，产生旁瓣过多，达不到提高距离向分辨率的要求。

针对上述问题，本文提出了一种基于自适应OMP算法的多基地雷达多目标投影定位算法。该算法利用多个接收机回波中目标稀疏度相同的特点，构造平均重构残余误差变化率和平均散射系数变化率两个指标，自适应地终止OMP算法迭代，给出目标稀疏度的估计及目标散射系数的重构结果。BR投影算法将重构结果投影到图像空间，PGC算法从图像空间提取目标稀疏度估计值个数的目标，自适应地完成对空间中多个目标的定位。

2 多基地雷达多目标稀疏信号模型

考虑一个发射机和多个(N≥ 3)接收机的场景，如图1所示。发射机泛光波束发射线性调频信号，接收机泛光波束接收。假设目标位于Pm处，从发射机到目标再到接收机的距离和可写为

‖PT-Pm‖2+‖Pm-Pi‖2=R(Pi,Pm)，i=1,2，…,N。

(1)

式中：PT表示发射机位置，Pi为第i个传感器位置，R(Pi,Pm)为从发射机到目标再到第i个传感器的距离和。

图1 多基地雷达系统结构示意图Fig.1 Illustration of multi-static radar system

对于Pm处的目标，第i个传感器接收的回波信号为

S(t,Pi;Pm)=σ(i,Pm)exp(-j2πfcτ(Pi,Pm))·

exp[jπfdr(t-τ(Pi,Pm))2] 。

(2)

式中：t为快时间;σ(i,Pm)为第i个传感器接收到的位于Pm处目标的散射系数;fc为载波频率;fdr为线性调频信号调频斜率;τ(Pi,Pm)=R(Pi,Pm)/C为回波时延，C为光速。

对回波信号距离和(后文讨论中采用“距离”代替“距离和”)向脉冲压缩及采样后，回波可以表示为

S(l,Pi;Pm)=σ(i,Pm)sinc(l-R(Pi,Pm))·

exp(-jkR(Pi,Pm)),

l=1,2,…,Nrange;i=1,2,…,N。

(3)

式中：l表示距离向第l个距离单元，Nrange为距离向上距离单元数总数，k=2πfc/C为载波波数，sinc(l-R(Pi,Pm))为距离向模糊函数。

对于多个目标的观测场景，回波信号应为距离向上所有目标回波之和，即

(4)

式中：ψ(l,Pi;Pm)=sinc(l-R(Pi,Pm))exp(-jkR(Pi,Pm))为第i个传感器在距离单元l处的测量函数，Π={1,2,…,Nrange}为距离向单元集合。

多基地雷达多目标投影定位算法首先根据公式(4)的回波信号计算目标存在概率，然后将目标存在概率大于门限的回波信号采用BR空间投影方法投影到图像空间，再在图像空间中采用PGC算法提取和定位目标。从公式(4)可以看出，由于距离向模糊函数(sinc函数)的存在，距离向回波信号将存在主瓣展宽和旁瓣串扰问题。高散射系数目标的主瓣扩展到相邻距离单元，高幅度的旁瓣叠加到整个距离向上，导致多基地雷达多目标投影定位算法产生虚假目标及对真实目标的漏检(文献[7]采用矩形脉冲代替模糊函数，简化了该问题)。

由于在多基地雷达多目标跟踪场景下，目标所占据的距离单元仅占整个距离向中很小一部分，即目标在距离向上表现出典型的稀疏特征，在距离向上是稀疏的。基于目标在距离向稀疏的重要特征，可利用压缩传感理论对多基地雷达多目标回波信号进行优化重构，抑制主瓣展宽和旁瓣串扰。

为了利用压缩传感进行信号重构，需要建立回波信号的线性表示模型。首先将公式(4)重写为向量形式:

S(l,Pi)=Φ(l,Pi)Tσ(i) 。

(5)

式中：Φ(l,Pi)=[ψ(l,Pi;P1),…,ψ(l,Pi;PNrang)]T为第i个传感器在第l个距离单元处Nrange×1维的测量向量，σ(i)=[σ(i,P1),…,σ(i,PNrang)]T为距离向上Nrange×1维的目标散射系数向量。

考虑噪声的情况下，多基地雷达多目标投影定位回波信号的线性表示模型可描述为

S(i)=A(i)σ(i)+v。

(6)

式中：S(i)=[S(1,Pi),S(2,Pi),…,S(Nrang,Pi)]T为Nrange×1维向量;A(i)∈Nrange×Nrange为第i个传感器的测量矩阵,

A(i)=[Φ(1,Pi),Φ(2,Pi),…,Φ(Nrange,Pi)]T=

(7)

由于多基地雷达多目标场景中，目标仅占据整个距离向中很小部分，因此可假设目标散射系数向量σ(i)中仅有Κ(Κ≪Nrange)个元素的散射系数为非零值或远大于零，即散射系数σ(i)在距离向上是Κ稀疏向量。那么，经过距离压缩后的多基地雷达多目标回波信号S(i)在基函数A(i)下是稀疏的，可采用基于压缩传感的稀疏重建算法对目标散射系数进行优化重构，抑制主瓣展宽和旁瓣串扰。

3 基于自适应OMP算法的多基地雷达多目标投影定位算法

3.1自适应OMP算法稀疏重建

OMP算法是最早被用来求解压缩感知问题的算法之一，核心思想是使残差最小化。OMP算法终止方式有两种，一种是指定残差门限，另一种是预设信号稀疏度[8]。当噪声存在时，合适的门限很难选择(详见第4节仿真分析)。如果指定残差门限过大，导致解精度不够；如果指定残差门限过小，则会导致非稀疏的最小二乘解。而采用预设稀疏度终止迭代时，由于信号真实稀疏度(即目标个数)的未知，通常将预设稀疏度设置为能够被OMP算法准确重构的信号的最大稀疏度，同样会导致非稀疏的最小二乘解，即增加旁瓣数目，难以实现对旁瓣的有效抑制。因此，这两种终止方式都不适用于多基地雷达多目标投影定位问题。

多基地雷达系统中，接收机分散布置在探测区域。虽然接收机所处位置不同，各个接收机中目标回波所处距离单元不同，但探测空间中目标个数是确定的，因此接收机回波中目标稀疏度是相同的，如公式(6)所示，每个接收机接收信号中的目标散射系数向量σ(i)均为K稀疏的。因此，本文联合多个接收机的稀疏信号，构造平均重构残余误差变化率和平均散射系数变化率两个参数，作为OMP算法迭代终止判定条件，自适应地终止OMP算法，获得对信号稀疏度的估计及信号的稀疏重建。

平均重构残余误差变化率定义为相邻两次迭代获得的N个接收机残差平均值的变化率，表达式为

(8)

(9)

式中：平均目标散射系数向量

自适应OMP算法多基地雷达多目标信号稀疏重建方法伪代码可用算法1描述。

算法1 基于自适应OMP的多基地雷达多目标信号稀疏重建方法

输入：测量矩阵A(i),测量信号S(i),误差门限ε0。

初始化：初始迭代次数k=0,估计值σ(0)(i)=0,残余量r(0)(i)=S(i),索引集Ω(0)(i)=φ。

循环开始：

Step1 增加计数：k=k+1。

Step2 寻找信号残差最大相关向量索引：

Step3 更新索引集：

Ω(k)(i)=Ω(k-1)(i)∪j(k)(i) 。

Step4 利用最小二乘方法估计信号：

Step5 更新信号残余：

r(k)(i)=S(i)-Aσ(k)(i) 。

Step6 重复Step 2～5，直到所有传感器信号处理完成。

Step7 计算平均重构残余误差向量和平均目标散射系数向量：

Step8 计算平均重构残余误差变化率和平均散射系数变化率：

Step9 迭代判定：如果η(k)<ε0且β(k)<β(k-1),则结束循环；否则，执行Step 1～9。

通过仿真实验分析，在算法1中将迭代终止时第k-1次的稀疏重建结果和k-1作为目标散射系数向量估计值和目标稀疏度估计值输出(详见第4节仿真分析部分)。

3.2基于自适应OMP算法的多基地雷达多目标投影定位方法

基于自适应OMP算法的多基地雷达多目标投影定位方法的具体步骤如下:

步骤1：采用自适应OMP算法重构目标散射系数，并且获得对目标稀疏度(目标个数)的估计值。

步骤2：根据重构的各接收机目标散射系数向量计算目标存在概率。

步骤3：采用BR空间投影算法将各个接收机的目标存在概率投影到三维图像空间，获得三维图像空间信息图Ι。

步骤4：采用PGC算法从信息图像Ι中依次提取估计目标稀疏度个数的目标并给出相应空间位置，完成对空间目标的探测与定位。

4 仿真数据结果及分析

为了验证基于自适应OMP算法的多基地雷达多目标投影定位方法的性能，本节采用仿真实验进行分析。为了不失一般性，仿真场景设为：设发射机位置为坐标原点，有20个接收机，最远的3个分别位于[-25,0,0]km、[25,0,0]km和[0,43,0]km处，其余接收机随机分布在由这3个接收机确定的三角形区域内；多基地雷达系统距离分辨率为10 m；5个点目标随机分布在以[50,50,10]km为中心的400 m×400 m×400 m的正方形区域内;目标RCS服从U(1,30)的均匀分布。

首先假设目标数目已知，即目标稀疏度已知的情况下，讨论OMP算法对旁瓣的抑制作用以及噪声对残差的影响。由于目标稀疏度已知无需估计目标稀疏度，因此算法1中只执行Step 1～6，跳过Step 7～9，当循环次数k等于预设稀疏度5时循环终止。图2给出了零均值标准差(Standard Deviation,STD)0.2的高斯白噪声下，单次实验OMP算法迭代终止时，接收机距离向上脉冲压缩后的回波信号(蓝色实线)以及OMP算法对脉冲压缩回波信号稀疏重建后的信号(红色实线)，其中图2(a)为第5个接收机信号，图2(b)为第10个接收机信号(其他接收机回波信号与此类似，故此不再一一给出)。图2中的子图为目标附近距离单元放大图。从图2中首先可以看出，由于接收机位置的不同，不同接收机中目标所在距离单元不同。其次，正如第3节分析的那样，脉冲压缩后的回波信号存在严重的主瓣展宽和旁瓣串扰问题。图2(a)中，由于第4 379个距离单元处存在一个高散射系数的目标，使得位于第4 374和第4 371距离单元处的两个目标在其主瓣展宽和旁瓣串扰的影响下被淹没。并且，由于高散射系数目标主瓣展宽，导致相邻距离单元上出现多个高散射系数回波，例如图2(a)中第4 379和第4 333个距离单元附近，以及图2(b)中第3 006和第2 948个距离单元附近。很明显，由于主瓣展宽和旁瓣串扰，将导致多基地雷达多目标投影定位结果产生虚假目标和漏检。而采用OMP算法稀疏重建后的回波信号仅在5个距离单元处存在非零值，分别对应了空间中5个目标的散射系数，其他距离单元处均为零。图2说明OMP算法有效抑制了距离向回波脉冲压缩后导致的主瓣展宽和旁瓣串扰问题，提高了距离向分辨率。

(a)第5个接收机处信号

(b)第10个接收机处信号图2 脉冲压缩后信号与稀疏重建信号Fig.2 Signals after pulse compression and sparse construction

图3给出了50次蒙特卡洛仿真情况下，OMP算法终止迭代时，20个接收机的残差‖r(k)(i)‖2|k=5与零均值STD分别为[0,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,0.35,0.4]的高斯白噪声的变化曲线。从图中可以看出，所有接收机的残差值均随噪声变化而变化，因此，正如第3.1节指出的那样，无法找到一个合适的残差门限用以终止OMP算法。

图3 接收机残差与噪声关系曲线Fig.3 Curves of residual error versus noise STD

其次，当目标个数未知时，讨论自适应OMP算法中平均重构残余误差变化率η(k)和平均散射系数变化率β(k)与目标稀疏度的关系。图4(a)和(b)分别给出了不同噪声环境中50次蒙特卡洛仿真情况下，η(k)和β(k)随算法迭代次数k的变化曲线。从图中可以看出，η(k)随迭代次数k增大而变小，当kK+1时η(k)均小于0.05，且变化很小；不同信噪比下β(k)均在k=K+1处达到一个极大值。因此，η(k)和β(k)变化曲线反映了目标稀疏度K信息，通过寻找η(k)和β(k)变化曲线的特征点即可较精确地估计目标稀疏度。所以，设置合理的迭代终止阈值以及判断β(k)是否获得极大值，可以保证自适应OMP算法迭代次数k与目标稀疏度K相近，从而获得与理想OMP算法相近的重构结果以及理想的目标稀疏度估计值。

(a)平均重构残余误差变化率

(b)平均散射系数变化率图4 不同噪声下自适应OMP算法参数随迭代次数的变化曲线Fig.4 Parameters of adaptive OMP algorithm versus the number of iterations under different noise STD

最后，讨论本文所提算法对目标稀疏度的估计性能并给出定位结果，算法1中误差门限设为ε0=0.03。表1给出了不同噪声标准差下，目标数从1增加到10个，采用50次蒙特卡洛仿真获得的目标稀疏度估计值的平均值。从表1可以看出，当STD等于0.2、0.3和0.4时，算法对目标稀疏度的估计与目标真实数目基本一致，说明了本文所提算法的有效性。仅当STD等于0.1时，估计目标数略大于真实目标数，说明在信噪比较高时，算法估计性能欠佳。

表1 目标稀疏度估计值Tab.1 Estimated sparity of targets

图5给出了零均值STD 0.2高斯白噪声情况下本文所提算法的定位结果图。从图中可以看出，定位结果与真实目标位置非常接近。

图5 定位结果图Fig.5 Localization result of the proposed algorithm

5 结束语

针对基于投影理论的多基地雷达多目标定位算法实际应用中面临的两个主要问题,即距离向脉冲压缩存在主瓣展宽和旁瓣串扰导致距离向分辨率降低以及需要已知空间中目标个数的问题，结合多基地雷达多目标定位场景中目标的稀疏特征，提出了一种基于自适应OMP算法的多基地雷达多目标投影定位算法。该方法采用OMP算法对信号稀疏重建，克服了主瓣展宽和旁瓣串扰导致的距离向分辨率降低问题；通过构造平均重构残余误差变化率和平均散射系数变化率作为OMP算法迭代终止判定条件，自适应终止OMP算法，获得对信号稀疏度的估计，解决了必须已知空间中目标个数的问题。仿真实验表明，所提算法通过对信号的稀疏重建有效克服了主瓣展宽和旁瓣串扰问题，提高了距离向分辨率，同时，能准确地估计目标稀疏度，自适应地终止OMP算法的同时，实现对空间中未知个数目标的自适应提取并定位。

虽然仿真实验验证了所提算法的有效性，但是由于OMP算法和投影定位方法的运算量均较大，在实际应用所提算法前首先需要解决的是运算量的问题。下一步将考虑采用GPU以并行计算的方式来解决该问题。

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AMulti-staticRadarMulti-targetLocalizationAlgorithmBasedonSparseReconstruction

FAN Ling
(School of Physics and Electronic Engineering,Leshan Normal University,Leshan 614000,China)

It is required to know targets’ number in the surveillance space because of low resolution after pulse compression in the projection localization method of multi-static radar multi-target based on range sum measurement.For this problem,a new sparse reconstruction based multi-static radar multi-target projection localization algorithm is proposed. By exploiting the feature that the sparsity of targets is same in different receivers,this algorithm uses the rate of average residual error and the rate of average scatter coefficient constructed as the stopping criterion to terminate orthogonal matching pursuit(OMP) algorithm adaptively. Meanwhile,the sparse reconstructed signals and the estimated sparsity of targets are obtained to improve the range resolution and obtain the targets’ number.Simulation results verify the mainlobe broadening and the sidelobe crosstalk are suppressed by the proposed method and the range resolution is improved. In addition,the unknown targets’ number is estimated accurately and the unknown targets’ location is extracted by the proposed method in different noise conditions.

multi-static radar;multi-target localization;range sum;sparse construction;adaptive orthogonal matching pursuit(OMP)

date:2017-02-14；Revised date：2017-05-10

四川省教育厅重点项目(15ZA0277)；乐山师范学院引进人才项目(Z1403)

**通信作者：lingftt@gmail.com Corresponding author：lingftt@gmail.com

TN953.7

A

1001-893X(2017)10-1158-07

樊玲(1977—)，女，四川眉山人，2013年于电子科技大学获博士学位，现为副教授，主要研究方向为雷达信号处理、雷达目标探测及跟踪。

Email：lingftt@gmail.com

10.3969/j.issn.1001-893x.2017.10.010

樊玲.一种稀疏重建的多基地雷达多目标定位算法[J].电讯技术，2017,57(10):1158-1164.[FAN Ling.A multi-static radar multi-target localization algorithm based on sparse reconstruction[J].Telecommunication Engineering,2017,57(10):1158-1164.]

2017-02-14；

2017-05-10