浅议导数与不等式的关系

唐浩然

1引言

众所周知，通过对函数求导，获得的导数可以判断函数的众多特性，例如在某一区间内函数是单调递增还是单调递减，在自变量取值范围内函数的最大值或最小值，还有函数的极值以及凹凸性等。在进行不等式证明时，通过构造适当的函数，在对构造的函数求导，利用导数判别函数的上述性质，进而实现不等式的证明。本文对导数与不等式之间的关系进行了论述，分别采用导数判别函数的单调性和最值的方法，论证了这两种方法在不等式证明中的应用，为不等式证明提供了一种简便的解题方法。

2函数单调性的导数判别法与不等式证明的关系

函数的单调性反映出某一区间内函数的增减情况，而函数的单调性可以通过其导数进行判别，当函数的导数在某一区间内大于零时，说明函数在这一区间内单调递增，当导数小于零，函数单调递减。如果要证明不等式，可以从构造函数的角度入手，对这个构造的函数求导，利用导数和函数单调性的关系来证明不等式成立。也就是说，不等式成立与否可以看作比大小的问题，这种大小的比较可以通过导数判断函数在某一范围内是单调递增还是单调递减来实现。具体步骤为首先将不等式转化为函数，即根据不等式的情况构造合适的函数，之后对该函数求导，判断在某一取值范围内的单调性。

以实例说明导数判断函数单调性在不等式证明的应用。即证明x在（0，+∞）范围内不等式-x-x2/2+ln（1+x）<0成立。首先构造如式（1）所示的函数：

[fx=-x-x22+ln （1+x）] （1）

對式（1）求导得到式（2）所示的导数：

[fx=-1-x+1x+1] （2）

当x>0时，f（x）<0，说明式（1）所示的函数f（x）在（0，+∞）范围内单调递减，也就是说在（0，+∞）范围内f（x）都小于f（0），将0带入式（1），可以得到f（0）=0，那么f（x）

3函数最值的导数判别法与不等式证明的关系

有些不等式的证明涉及到恒成立问题，即不等式恒小于一个值或恒大于一个值。同样，这类问题也可以将不等式转化为函数进行求解证明。要证明不等式恒大于（小于）某一个值，可以将不等式左侧转化为一个特定的函数，只要求出这个函数的最值，且最值永远小于或大于不等式右侧的值即可证明不等式恒成立。求解函数的最值可以通过导数来进行，求出导数的的最值在进行函数最值的求解。在证明不等式恒成立时需要注意变量取值区间的端点成立与否，这是进行大小比较的先决条件。

以具体实例说明：定义变量x的范围为[-π/2，π/2]，在这个范围内任取两个值x1和x2，现要证明如式（3）所示的不等式一定成立：

[fx1-f（x2）<π] （3）

式（3）中x1和x2满足式（4）所示的函数关系：

[fx=sin2x-x] （4）

将式（4）所示的函数进行求导，导数如式（5）所示：

[f'x=2cos2x-1] （5）

式（4）所示的函数在[-π/2，π/2]内连续，如果f（x）=0，那么x在这个范围内有两个取值，分别为π/6和-π/6，带入式4，当x=π/6时f（π/6）=[32-π6]，当x=-π/6时f（-π/6）=[32+π6]，由于π/6和-π/6位于[-π/2，π/2]区间内，且x等于-π/2和π/2时f（x）分别等于π/2和-π/2，而f（x）在[-π/2，π/2]范围内的最大值和最小值分别为π/2和-π/2。因此任取x1和x2都存在如式（6）所示的关系：

[fx1-f（x2）<π2-（-π2）] （6）

可以看出式（3）所示的不等式恒成立。

从上述分析可以看出这种证明不等式恒大于或恒小于某一个值的问题完全可以转化为通过导数求解函数的最小值或最大值的问题。在证明过程中将不等式转化为合适的函数以及选取合适的临界范围是这种问题的重要步骤。

4结论

综上所述，不等式是否成立可以利用函数的导数进行证明。将不等式转化为函数，利用导数求解函数的单调性、最值等特性，不仅可以完美的完成不等式的证明，还能够使得证明过程简洁明了。