数列求和典型例题分析

■河南郑州市第四十七中学 巩建辉

数列求和典型例题分析

■河南郑州市第四十七中学 巩建辉

数列是高考中的热点也是难点。从近五年高考试题分析来看,数列命题的基本特点是:试题题型规范,方法可循,难度稳定在中档。高考数列解答题主要题型有:等差、等比数列的综合问题;证明一个数列为等差或等比数列;求数列的通项及非等差、非等比数列的前n项和;证明数列型不等式。尤其是对数列求和的问题考查较为突出,下面就对数列求和的典型问题进行总结。

一、基本数列求和方法

二、非基本数列求和的常用方法

(1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,例如利用倒序相加法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5,再比如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。

(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减。如已知数列{an}的通项an=2n+(2n-1),求其前n项和Sn。

(3)并项求和法:一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法。如已知数列{an}的通项an=(-1)nf(n),求其前n项和Sn。

(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。

(5)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和。

常见的裂项公式:

三、常用求和公式

四、典型例题分析

(一)分组求和与并项求和

已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=8,S4=40。数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn-2bn+3=0,n∈N*。

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

因为Tn-2bn+3=0,故当n=1时,b1=3。

当n≥2时,Tn-1-2bn-1+3=0。

两式相减得bn=2bn-1(n≥2)。

所以数列{bn}为等比数列。

故bn=3·2n-1。

解题心得:具有下列特点的数列适合分组求和:

(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差数列或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和;

(二)错位相减法求和

已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an,数列{bn}的前n项和Sn=n2+2n+1。

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn。

解析:(1)由题意知数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,其通项公式为an=3n-1;数列{bn}满足b1=S1=4,n≥2时,bn=Sn-Sn-1=2n+1。所以,数列{bn}的通项公

(2)由(1)知cn=anbn=

故Tn=4+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1。

3Tn=12+5×32+7×33+9×34+…+(2n+1)·3n。

两式相减得:

-2Tn=7+2(32+33+34+…+3n-1)-(2n+1)·3n=-2-2n·3n。

所以Tn=n·3n+1(n≥2)。

综上,数列{cn}的前n项和Tn=n·3n+1(n∈N*)。

解题心得:(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和,可采用错位相减法求和,解题思路是:和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解。

(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式。

(三)裂项相消法求和

数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn和1的等差中项,等差数列{bn}满足b1=a1,b4=S3。

(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;

解析:(Ⅰ)因为an是Sn和1的等差中项,所以Sn=2an-1。

当n=1时,a1=S1=2a1-1,故a1=1。

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,故an=2an-1。

故an=2n-1,Sn=2n-1。

设{bn}的公差为d,b1=a1=1,b4=1+3d=7,故d=2。

故bn=1+(n-1)×2=2n-1。

解题心得:裂项相消法的基本思想就是把an分拆成an=bn+k-bn(k∈N*)的形式,从而达到在求和时绝大多数项相消的目的。在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使之符合裂项相消的条件。

知识小结:

1.数列求和,一般应从通项入手,若通项未知,先求通项,再通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和。

2.解决非等差、非等比数列的求和问题,主要有两种思路:(1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成;(2)不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和。但是在解题过程中还需注意:(1)直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围。(2)在应用错位相减法求和时,注意观察未合并项的正负号。(3)在应用裂项相消法求和时,要注意消项的规律具有对称性,即前面剩多少项,后面就剩多少项。

(责任编辑 徐利杰)