基于广义开尔文模型的冻结壁和井壁共同作用下冻结压力解析解

，， ,2

(1.安徽理工大学 土木建筑学院，安徽 淮南 232001；2.安徽大学 资源与环境工程学院，合肥 230601)

基于广义开尔文模型的冻结壁和井壁共同作用下冻结压力解析解

彭世龙1，荣传新1，程桦1,2

(1.安徽理工大学 土木建筑学院，安徽 淮南 232001；2.安徽大学 资源与环境工程学院，合肥 230601)

冻结压力大小是深厚冲积层冻结法凿井外层井壁结构设计计算的重要依据。在冻土单轴蠕变试验基础上，采用广义开尔文流变模型，以及弹性-黏弹性对应原理，建立冻结壁位移场黏弹性方程；然后考虑冻结壁与外层井壁及外围未冻土体的相互作用，推导出了作用于外层井壁上的冻结压力的数学表达式。计算结果表明：在外层井壁砌筑后的前10 d，冻结压力的理论公式计算值与实测结果平均值相差较大，约0.5 MPa；在20 d后，冻结压力趋于稳定，两者差值的绝对值在0.2 MPa以内。总之，冻结压力的理论计算值与实测结果的偏差绝对值在10%以内。因此冻结压力的理论计算公式是比较符合实际的，此公式可为冻结井的外层井壁结构设计提供依据。

冻结压力；广义开尔文流变模型；冻结法凿井；冻结壁；外层井壁

1 研究背景

人工地层冻结法是煤矿立井穿越冲积层最常用工法之一。进入21世纪以来，随着我国煤矿开采深度的不断增加，冻结法凿井所穿越的冲积层厚度已由早期的300 m左右，急增至400～600 m。随地层深度的增加，人工冻土的力学特性则尤为复杂[1-2]。冻结壁和井壁的结构设计是冻结法凿井的设计基础;冻结压力是外层井壁结构设计的重要依据[1]，是井筒施工过程中井帮作用在外层井壁上的水平外荷载，是冻结壁与外层井壁进行共同作用后的结果，其相互作用力的大小与冻结壁和井壁的材料力学特性有关。近些年来，国内外众多专家学者针对人工冻结凿井冻结压力产生的机理及大小，开展了大量理论与实测研究，取得了不少研究成果[3-10]。此外，杨俊杰[11-12]、Auld[13]和Sugihara等[14]考虑冻结壁与外层井壁发生的相互作用，开展了外层井壁结构设计计算理论的研究，但他们在计算时未考虑冻结壁具有的蠕变特性，仅仅将冻结壁视为弹性或弹塑性体。荣传新等[9]基于冻土的黏弹塑性流变本构关系，在考虑了冻结壁和外层井壁以及外围土体三者的共同作用下，建立了一个适合于深厚冲积层的黏弹性计算模型。王衍森等[15]基于深部冻土的蠕变本构关系和冻结壁温度场，模拟了井筒开挖和砌筑施工过程，并开展了冻结壁与井壁相互作用的数值分析，得到了冻结法凿井施工过程中冻结壁与外层井壁的相互作用力的变化规律。本文以淮南某矿副井为工程背景，基于深埋人工冻土蠕变试验结果，选用广义开尔文流变模型来表征冻土稳定蠕变阶段，运用弹性-黏弹性对应原理和围岩与结构物共同作用原理，给出了深厚冲积层冻结立井冻结压力表达式，揭示了冻结压力变化规律，并得到了工程实测的验证。

2 冻结壁与外层井壁共同作用理论分析

2.1 力学模型

冻结壁的变形是由于其内部的土体被开挖而产生的，即是由解除应力场引起的。所以在分析冻结壁在开挖后的受力状态时只需要分析解除应力场的作用，而不需要分析初始应力场的作用。为了确定解除应力场，以外围土体外边界无穷远处受到的等效荷载来代替由于冻结壁内缘开挖而产生的解除应力场，对于平面应变问题，等效载荷可表示为[16-17]

(1)

式中：P0为外围未冻土体受到的初始水平地压；μ0为外围未冻土体的泊松比。

图1是外围未冻土体、冻结壁和外层井壁共同作用的力学模型。图1中r0和r1分别是外层井壁的内径、外径;r2是冻结壁的外径；r∞代表无穷远处边界。模型由内圈向外圈分为外层井壁弹性区、冻结壁黏弹性区和外围未冻土体弹性区。Peq为外围未冻土体无穷远处边界作用有等效应力;P2为冻结壁黏弹性区外表面与外围未冻土体弹性区交界处的载荷;Pt为外层井壁弹性区与冻结壁黏弹性区内表面交界处的冻结压力。

图1计算力学模型

Fig.1Computationalmechanicsmodel

2.2 计算假设

为便于计算分析，作如下假设：①土体在冻结前、后的应力场保持不变，仍然为初始地应力场；②外围未冻土体为理想弹性体，冻结壁为理想黏弹性体；③冻结壁各方向厚度相同，计算时取其平均温度，忽略温度分布不均造成的影响；④将冻结壁和外围未冻土体的相互作用问题视为轴对称平面应变问题；⑤外层钢筋混凝土井壁视为均质的线弹性介质。

2.3 外围未冻土体位移场计算

将外围未冻土体视为受均匀分布内、外压的弹性厚壁圆筒，考虑到r∞≫r2，故得其位移场为

(2)

式中：E0为外围未冻土体弹性模量；r为任意位置处的半径。

外围未冻土体与冻结壁交界处(r=r2)的位移为

(3)

2.4 冻结壁位移场的黏弹性求解

视冻结壁黏弹性区为承受内、外压的厚壁圆筒，由弹性理论可得冻结壁位移的弹性解，即

(4)

式中：k1=r1/r2；E为冻结壁弹性模量；μ为冻结壁泊松比。

通过对冻土试件进行应力水平分别为0.3σc，0.5σc，0.7σc的单轴蠕变试验(其中σc为单轴抗压强度)，可得冻土单轴蠕变结果，如图2所示。由试验结果可知：在低应力水平(0.3σc)和中应力水平(0.5σc)的条件下，整个蠕变过程呈稳定状态，属于稳定蠕变；当应力水平较高时(0.7σc)，整个蠕变过程呈非稳定状态，属于加速蠕变。经对比发现冻土的稳定蠕变曲线形式(图2)和广义开尔文模型蠕变曲线(图3，应力水平为σ=σ0)形式相近，所以可用广义开尔文模型(即Kelvin-Voigt模型)(图4)来表征冻土的稳定蠕变特征。

图2-10℃时冻土蠕变曲线

Fig.2Creepcurvesoffrozensoilat-10℃

图3广义开尔文模型蠕变曲线

Fig.3CreepcurveofgeneralizedKelvinmodel

图4广义开尔文流变模型

Fig.4GeneralizedKelvinrheologicalmodel

其本构模型为

(5)

当应力σ=σ0=恒定值时，可推导出蠕变本构方程为

(6)

但式(5)仅仅是处于一维应力状态下“黏弹性模型”的流变本构方程，而实际冻结壁是处于三维应力状态下的，因此，必须将式(5)由一维应力空间推广到三维应力空间。根据弹塑性力学的基本原理，任意一点的三维应力均可分解成“球应力”与“偏应力”。“球应力”仅使介质产生体积变化，而“偏应力”仅使介质产生形状上的变化。在复杂应力状态下，各向同性的线性黏弹性体的本构方程可表示为

(7)

复杂应力条件下的线弹性体的本构方程为

(8)

式中：G为剪切模量；K为体积弹性模量。

只需采用三维元件参数取代广义开尔文体中的一维元件参数(分别用2G1，2G2，2H代替E1，E2，η)，并以应力偏张量Sij、应变偏张量eij分别取代应力σ、应变ε，即可得到以下的“黏弹性模型”的三维流变本构方程，所以可将式(5)拓展到三维受力状态，其微分形式的本构方程可表示为

(9)

因为在拉氏象空间下，P′，Q′，P″，Q″经过Laplace变换可分别表示成复变量s的函数，其满足

(10)

比较式(7)、式(8)、式(9)可知

(11)

分别对比线弹性体与黏弹性体在拉氏象空间中的形式，再利用弹性力学关系可得

(12)

(13)

(14)

其中W=3KG1+3KG2+G1G2。

由Laplace逆代换，式(13)和式(14)可分别表示为：

(15)

(16)

将式(15)和式(16)分别代入式(4)可得冻结壁位移场的黏弹性解为

(17)

其中，

假设冻结壁各位置的温度均处于稳定状态，由位移场的黏弹性解可以求得冻结壁与外层井壁(r=r1)和外围未冻土体(r=r2)交界处的位移表达式分别为

(18)

2.5 外层井壁位移场的弹性求解

外层井壁可以看作仅受到冻结压力Pt作用的厚壁圆筒，故井壁与冻结壁交界处(r=r1)的位移场满足

(19)

式中：E3为井壁弹性模量；μ3为泊松比；k2=r0/r1。

3 冻结压力求解

冻结法凿井的外层井壁施工过程中，在外层井壁与冻结壁之间会铺设聚苯乙烯泡沫板，设其厚度为δ。在外层井壁，黏弹性冻结壁以及外层未冻土的体变形过程中，各接触面均满足以下变形协调方程，即

(20)

将式(3)、式(18)、式(19)代入上述位移协调条件可得冻结压力表达式为

(21)

4 工程实例分析

淮南某矿副井，新生界松散层厚度525.25 m，井筒净直径8 m，冻结深度为565 m。计算深度取500 m，初始水平地压为6 MPa，冻结壁平均温度为-18 ℃,冻结壁厚11.8 m，外层井壁内半径r0为5.1 m，外半径r1为6.2 m。E0=65 MPa,外围未冻土体的泊松比μ0=0.3,外层井壁的泊松比μ3=0.3，冻结壁的泊松比μ=0.3。利用不同温度条件下获得的冻土蠕变试验曲线可拟合出黏弹性模型中各参数，如表1所示。井壁弹性模量E3按图5所示曲线取值。

表1 广义开尔文模型参数

图5混凝土弹性模量的实测曲线

Fig.5Curveofmeasuredelasticmodulusofconcrete

泡沫板厚度δ取75 mm，将表1中广义开尔文模型的参数代入式(21)，得到不同时刻的冻结压力Pt的计算结果，如表2所示。图6为所推得的冻结压力公式在不同泡沫板厚度下求得的解析解与实测数据的对比结果。

由表2和图6可见:泡沫板可以吸收瞬时弹性变形释放的能量，冻结压力随着其厚度的增加而减小。理论公式所计算出的冻结压力值与实测值，前10 d相差较大，两者差值的绝对值约0.5 MPa；在外层井壁砌筑20 d后，冻结压力趋于稳定，两者差值的绝对值在0.2 MPa以内。总之，通过本文推导的理论公式所计算出的冻结压力值与实测值之间的偏差绝对值在10%以内。所以基于广义开尔文模型推导的冻结压力理论公式是比较符合外层井壁作用力的实际增长规律的，此公式可为冻结井的外层井壁结构设计提供重要依据。

表2 冻结压力的理论结果与实际监测结果比较

图6冻结压力对照值

Fig.6Comparisonoffreezingpressures

5 结 论

(1)由冻土蠕变试验可知，广义开尔文流变模型可以表征冻土的稳定蠕变阶段，并通过对冻结壁与外层井壁以及外围未冻土体共同作用机理分析，利用弹性-黏弹性对应原理，求得冻结壁位移场的黏弹性解，导出作用于外层井壁上的冻结压力表达式。

(2)计算结果表明，泡沫板可以吸收瞬时弹性变形释放的能量，冻结压力随着其厚度的增加而减小。前10 d，冻结压力的理论公式计算值与实测结果平均值相差较大，约0.5 MPa；在外层井壁砌筑20 d后，冻结压力趋于稳定，两者差值的绝对值在0.2 MPa以内。通过本文推导的理论公式所计算出的冻结压力值与实测值之间的偏差绝对值在10%以内。因此,基于广义开尔文模型推导的冻结压力理论公式是比较符合外层井壁作用力的实际增长规律的，此公式可为冻结井的外层井壁结构设计提供重要依据。

[1] CHAMBERLAIN E J,GROVES C, PERHAM R.The Mechanical Behaviour of Frozen Earth Materials under High Pressure Triaxial Test Conditions[J].Geotechnique,1972,22 (3)：469-483.

[2] WANG D Y, MA W, WEN Z,etal. Study on Strength of Artificially Frozen Soils in Deep Alluvium[J]. Tunnelling and Underground Space Technology,2008,23(4): 381-388.

[3] 姜国静,王建平,刘晓敏.超厚黏土层冻结压力实测研究[J].煤炭科学技术,2013,41(3):43-46.

[4] WANG P, ZHOU G. Frost-heaving Pressure in Geotechnical Engineering Materials During Freezing Process[J]. International Journal of Mining Science amp; Technology, 2017. doi: 10.1016/j.ijmst.2017.06.003.

[5] 张 驰,杨维好,杨志江,等.深厚含水基岩区立井外壁冻结压力的实测与分析[J].煤炭学报,2012,37(1):33-38.

[6] 盛天宝.特厚黏土层冻结压力研究与应用[J].煤炭学报,2010,35(4): 571-574.

[7] 王衍森,薛利兵,程建平,等.特厚冲积层竖井井壁冻结压力的实测与分析[J].岩土工程学报,2009,31(2): 207-212.

[8] 姚兆明,张秋瑾,牛连僧.基于蚁群算法的冻结重塑黏土分数阶导数西原模型分析[J].长江科学院院报,2016,33 (7): 81-86.

[9] 荣传新,王秀喜,程 桦.深厚冲积层冻结壁和井壁共同作用机理研究[J].工程力学,2009,26(3):235-239.

[10] NOVIKOV F Y. Pressure of Thawing Soils on the Concrete Lining of Vertical Mine Shafts[J]. Engineering Geology,1979,13(4): 277-286.

[11] 杨俊杰.深厚粘土层冻结井外壁设计的一种新方法[J].煤矿设计,1997,44(7): 3-6.

[12] 杨俊杰.考虑地层抗力时的外层井壁内力计算[J].煤炭工程,2002,49(2): 53-55.

[13] AULD F A. Design and Installation of Deep Shaft Linings in Ground Temporarily Stabilized by Freezing [C]∥ISSMFE.Proceedings of the Fifth International Symposium on Ground. Nottingham, July 26-27, 1988: 255-272.

[14] SUGIHARA K, YOSHIOKA H, MATSUI H,etal. Preliminary Results of a Study on the Responses of Sedimentary Rocks to Shaft Excavation [J]. Engineering Geology, 1993, 35(3/4): 223-228.

[15] 王衍森,文 凯.深厚表土中冻结壁与井壁相互作用的数值分析[J].岩土工程学报,2014,36(6):1142-1146.

[16] 胡向东.卸载状态下冻结壁外载的确定[J].同济大学学报,2002,30(1): 6-10.

[17] 胡向东.卸载状态下与周围土体共同作用的冻结壁力学模型[J].煤炭学报,2001,26(5): 507-511.

(编辑：罗 娟)

Analytical Solution of Freezing Pressure under the Interaction of Freezing Wall and Shaft Lining Based on Generalized Kelvin Model

PENG Shi-long1, RONG Chuan-xin1, CHENG Hua1,2

(1.School of Civil Engineering and Architecture, Anhui University of Science and Technology,Huainan 232001, China;2. School of Resources and Environmental Engineering,Anhui University, Hefei 230601, China)

Freezing pressure is an important basis for the design and calculation of the outer wall structure of shaft sinking by freezing method in deep alluvium. On the basis of uniaxial creep test of frozen soil, the generalized Kelvin rheological model and the elastic-viscoelastic correspondence principle were adopted to establish the viscoelastic equation of displacement field of frozen wall. Then, the mathematical expression of the freezing pressure acting on the outer shaft lining is deduced by considering the interaction among the frozen wall, the outer shaft lining and the peripheral unfrozen soil. Calculation results show that 1) the calculation value by theoretical formula and from mean measured value of the freezing pressure show a big difference(about 0.5 MPa) in the first ten days after the construction of outer shaft lining masonry; 2) the freezing pressure tends to be stable after 20 days, and the absolute value of the difference between the two is less than 0.2 MPa. In a word, the absolute deviation between the theoretical and calculated values of freezing pressure is less than 10%. The theoretical calculation formula of freezing pressure is quite practical and it could provide basis for the structural design of outer shaft lining of freezing well.

freezing pressure; generalized Kelvin rheological model; freezing sinking method; frozen wall; outer shaft lining

10.11988/ckyyb.20160731 2017,34(11):84-88,95

2016-07-18；

2016-09-01

国家自然科学基金项目(51374010，51474004)

彭世龙(1991-)，男，安徽六安人，博士研究生，主要从事岩土工程结构方面的研究，(电话)15856692871(电子信箱)974860806@qq.com。

荣传新(1968-)，男，安徽六安人，教授，博士生导师，博士，主要从事岩土工程和结构工程方面的教学与科研工作，(电话)0554-6633833(电子信箱)chxrong@aust.edu.cn。

TU445；TD265.3

A

1001-5485(2017)11-0084-05