培养学生数学变式能力的方法

【摘 要】数学教师教育学生的目的是培养学生解决问题的能力、学习新事物的能力，提出更一般的、更广阔的、更深刻的新问题和建立新理论的能力。那么如何培养学生针对旧问题提出新问题（问题演变）的能力？也就是说，如何培养学生数学变式的能力呢？

【关键词】变式训练；创新思维；能力

一、重视基础，沟通联系

数学基础知识、基本概念（定义、定理、性质、公式、法则）是解决数学问题，并产生新问题的起点。一般情况下，要从知识发生的过程设计问题，突出概念的形成过程；从学生认知的最近发展区来设计问题，不是将公式简单地告诉学生；通过设计开放性的问题，让学生通过类比、归纳、猜想得出结论，再对所得结论进行论证。

例1：求证：顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。

变式1：求证：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形。

变式2：求证：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形。

变式3：求证：顺次连结正方形各边中点所得的四边形是正方形。

变式4：顺次连结四边形各边中点可以得到平行四边形？

变式5：顺次连结四边形各边中点可以得到平行矩形？

变式6：顺次连结四边形各边中点可以得到菱形？

通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。

二、创新思维，发展能力

丰富而扎实的基础知识是形成创新意识的前提，有“知”未必有“能”，无“知”必定无“能”，要想知识和能力同步协调发展，教师在教学中既要使学生掌握知识，更要使学生把握知识产生的“过程”价值。具体地说，在数学活动中，它是一种不依常规，寻求变异，从多角度、多层次、全方位地去思考问题、寻求答案的优良思维品质，其基本特征是：流畅性（能在短时间内表达较多的概念，反应迅速）、变通性（思维方向灵活多样，举一反三，触类旁通，能提出超常的构想或新观点）、独创性质（对事物的处理或判断表现出独特的见解，推陈出新）。

例1：如图1，在Rt△ABC中，当∠C=90°时，则c2=a2+b2（勾股定理）。

变式探究

变式1：当∠c不是90°时，则，c2=a2+b2仍成立吗？

解：如图2，设△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b。

过点B作AC的垂线BD，垂足为D。

则BD=asinC，DC=acosC，AD=b-acosC，

根据勾股定理可得：

C2=（asinC）2+（b-acosC）2

=a2sin2C+b2-2abcosC+a2cos2C

=a2（sin2C+cos2C）+b2-2abcosC

=a2+b2-2abcosC

这即是解斜三角形所需用的余弦定理。从而，我们可以发现，勾股定理亦可视为余弦定理的特殊情况，即c2=a2+b2-2abcos90°。

变式2：已知所有符合a2+b2=c2的正整数解即为一组勾股数，如：3、4、5，5、12、13，9、40、41……那么是否存在正整数a、b、c，使a3+b3=c3呢？

变式3：当幂n≥3时，是否存在正整数a、b、c，使an+bn=cn也成立呢？这就是有名的数学难题——费马最后定理。

由上例可知，教材中一些常见定理，反映着相关数学理论的本质属性，蕴含着丰富的数学思维方法和思想精髓，这就是学生创新思维的生长点。

三、熟悉规律，掌握技能

数学问题的演变是从基础问题出发进行变化，对学生的思维能力要求较高，但仍有一定的方法、技巧可循。如何引导学生根据现有的思维水平，运用已掌握的知识，通过正确的思维方式，把碰到的数学问题转化为熟悉的或容易解决的数学问题，变中求解、解中求变呢？请参见以下的流程图：

例2：已知一次函数与反比例函数的图像交于点P（-2，1），Q（1，m）。

（1）求这两个函数关系式；

（2）在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，根据图像回答：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值？

变式1（变结论）：根据图像回答，当x为何值时，一次函数值小于反比例函数值？

变式2（延伸结论）：判断∠POQ的取值范围，求△POQ的面积。

变式3（变条件点的位置）：一次函数与反比例函数的图像交于点P（-2，1），Q（-1，m）。

（1）求这两个函数关系式；

（2）在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，根据图像回答：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值？

（3）判断∠POQ的取值范围，求△POQ的面积。

四、巧妙设计，注意要点

前面，我们举例说明了数学问题变式的方法，但应当指出，问题变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学或学习需要，遵循学生的认知规律而设计数学变式，其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧，完成“应用—理解—形成技能—培养能力”的认知过程。因此，数学变式设计要巧，要有一定的艺术性，要正确把握变式的度。一般地，设计数学变式，应注意以下几个问题：

（1）差异性。设计数学问题变式，要强调一个“变”字，避免简单的重复。变式题组的题目之间要有明显的差异，要使学生对每道题既感熟悉，又觉新鲜。从心理学角度分析，新颖的题目对学生刺激强，学生做题的兴奋度高，容易集中注意力，积极性高，思维敏捷，能收到较好的训练效果。因此，設计数学变式，要努力做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”。

（2）层次性。所谓的问题变式要有一定的难度，才能调动学生积极思考。但是，变式要由易到难，层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心和求知欲。要让学生经过思考，能够跨过一个个“门槛”，这样既达到训练的目的，又可以培养学生的思维能力，发展学生的智力。

（3）灵活性。根据教学内容和学生的实际情况，数学问题变式训练的方式要灵活多样，力求使学生独立练习和教师启发引导下的半独立练习相结合。同时，根据数学内容，有时可分散训练，有时可集中训练，有时一个题目的变式可分几次完成，充分展现知识螺旋式上升的方式。这种灵活的训练方式，不仅可以提高学生的兴趣，吸引学生的注意力，而且可以使学生的多种感官参与学习，提高大脑和神经的兴奋度，达到最佳的训练效果。

总之，变式训练不是简单的重复，关于特定数学内容的问题变式有助于促使学生产生体验新的知识的深切体会，有助于促成学生形成看待原有问题的全新视角，所有这些，应其外在表象而言，接触了更多的变异，就其内在本质而言，产生了深刻的理解。

作者简介：

杨小芳（1972.1～ ），女，浙江舟山人，本科，中学高级，初中数学。endprint