管道阴极保护数值计算方法的应用进展

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(1. 中国石油大学(华东) 储运与建筑工程学院，青岛 266580; 2. 中国石化青岛液化天然气有限责任公司,青岛 266001)

专论

管道阴极保护数值计算方法的应用进展

寇杰1,尹雪明1,2

(1. 中国石油大学(华东) 储运与建筑工程学院，青岛 266580; 2. 中国石化青岛液化天然气有限责任公司,青岛 266001)

针对管道阴极保护数值模拟的应用现状，对阴极保护体系的控制方程以及三种常用边界条件做了简单的介绍。同时介绍了三种常用的数值计算方法以及国内外研究学者对这三种数值计算方法的应用情况，并对比分析了三种数值解法的优缺点。最后指出了目前管道阴极保护数值模拟技术存在的不足,并提出了相应的解决措施。

阴极保护；数值计算；有限差分法；有限元法；边界元法

KOU Jie1, YIN Xueming1,2
(1. College of Pipeline and Civil Engineering, China University of Petroleum, Qingdao 266580, China;
2. Sinopec Qingdao LNG, Qingdao 266001, China)

目前，国内外主要采用涂层与阴极保护技术相结合的方法来防止管道的腐蚀[1]。但管道所处环境复杂、管网中管道数量多、管道连接方式多样，很难通过传统的实地测量、室内试验等方法来预测管道的保护效果，同时经验公式在使用上的局限性也容易造成部分管道出现过保护或欠保护。因此，数值模拟技术逐渐发展起来并得到了广泛的应用，相比传统的阴极保护设计方法，数值模拟技术可以更加准确、高效地预测被保护管道的电位分布情况以及评价阴极保护的效果。

管道阴极保护系统的数值模拟即对被保护管道及其所处环境进行合理假设，建立数学模型并进行求解，通过计算机的数值计算和图像输出，定量描述管道电位分布情况，从而达到解决问题的目的[2]。常用的数值计算方法[3]有：有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)以及边界元法(BEM),这三种数值计算方法各有优势和不足。本工作基于各位专家学者对这三种常用的管道阴极保护数值模拟技术的研究，对数值求解方法的优缺点以及管道阴极保护数值模拟技术存在的不足进行了分析，并指出了相应的解决措施,以期为指导今后的管道阴极保护数值计算研究提供借鉴和参考。

1 阴极保护体系的数学模型及边界条件

阴极保护体系的数学模型有分布型模型和时变型模型两种[4]，时变型模型主要用于研究阴极垢层的形成以及阴极极化随时间的变化关系，模型建立时需要考虑温度、土壤含水量等随时间变化的环境参数。因为缺乏对其规律的理解，所以时变型模型的研究难度较大，目前尚没有合适的数值计算方法，因此对阴极保护体系的研究主要集中在分布型模型上。

分布型模型主要研究阴极保护体系达到稳定状态时管道上电位、电流分布及他们之间的关系[5]，可用静态场理论来分析处理。在模型建立时需做如下假设[6]：环境介质均匀、单一。当电场为有源场时，稳态阴极保护体系的电位分布可用泊松方程来描述[3],见式(1)。

式中:qs为场源；σ为区域内介质电导率。

电场为无源场时，方程变为拉普拉斯方程[3]

微分方程必须具备相应的边界条件才能得到唯一解，作为数学模型的重要组成部分，边界条件的选取对数值计算结果影响很大。因此，根据实际情况选择合适的边界条件是阴极保护数值计算的关键。阴极保护体系常用的边界条件有以下三种[7]：

(1) 第一类边界条件(Dirichlet条件),给定边界上的电位值，即Φ(x,y)=ΦA。

(2) 第二类边界条件(Neumann条件),给定边界上的电流密度值，即∂Φ(x,y)/∂n(x,y)=qA。

(3) 第三类边界条件(混合边界条件),给定边界上电位与电流密度之间的关系，即∂Φ(x,y)/∂n(x,y)=f(Φ)。

其中，Φ(x,y)为点(x,y)处的电位值，n(x,y)为在该点处表面的法线方向，qA为恒定的电流值，ΦA为恒定的电位值，f(Φ)为极化电流密度函数。

2 常用的数值计算方法

2.1 有限差分法(FDM)

20世纪60年代以来，有限差分法逐步应用到电化学计算领域中，直到80年代，STROMMEN等[8]首次用有限差分法计算了阴极保护系统中被保护构件表面的电位分布，并将其引入了阴极保护计算领域中。有限差分法可以近似求解偏微分方程的边值问题，其基本原理[3]是用差分项[Φ(x+Δx)-Φ(x)]/Δx近似代替微分方程中的微分项dΦ/dx，从而求解微分方程。

有限差分法利用规则的网格对不规则的计算区域进行划分，其网格划分模型如图1所示，复杂区域的网格生成可能占总计算时间的大部分，网格的质量对计算精度的影响很大，一般情况下，网格数越多，其得到的近似解精度越高，但当网格足够细密时，再进一步加密网格对数值计算结果基本上没有影响。

图1 有限差分法网格划分模型Fig. 1 Meshing model of finite difference method

张鸣镝等[9]用有限差分法计算了海泥介质中海底管道表面电位的分布情况及其随时间的变化，同时对管道进行了试验分析，试验结果与数值计算结果吻合良好，验证了有限差分法用于海底管道阴极保护电位分布计算的可行性，同时证明了有限差分法能够用于海底管道阴极保护系统的监测。

钱海军等[10]采用有限差分法，使用“漏电”等效电路模型模拟管内保护电位分布，并且还通过编写程序对大口径输水管内阴极保护电位分布进行了计算，结果与实测值十分吻合。

对于一维、二维计算场域,采用有限差分法所得计算结果可靠，但对于三维复杂结构的阴极保护体系来说，因有限差分法采用折线来处理不规则的边界，容易导致计算结果不收敛、计算精度降低等问题。因此，随着被保护构件复杂程度的增大以及人们对计算精度要求的提高，有限差分法在阴极保护体系上的应用逐渐减少。

2.2 有限元法(FEM)

自20世纪70年代，有限元法逐渐被应用到管道腐蚀防护的阴极保护设计中。有限元法是改进后的有限差分法，是变分原理在差分方法中的应用，其可用任意形状的单元来划分计算区域，从而便于复杂和弯曲边界的处理，同时也提高了计算精度。有限元法不仅能够得到管道表面上的电位、电流分布，也可以得到某个特定范围内的电位、电流分布情况。有限元法的网格划分模型如图2所示，有限元法可以针对每个不同的单元来设置其环境参数，从而更好地贴合实际。

图2 有限元法网格划分模型Fig. 2 Meshing model of finite element method

KENNELLEY等[11]在建模时考虑了涂层缺陷问题，得到了涂层缺陷对阴极保护电位分布的影响。PARSA等[12]指出土壤电阻率对电位分布有较大的影响，并得到了不同土壤电阻率下的最优外加电流密度。KASPER等[13]首次指出稳态温度场和恒定电磁场有相似的自变量、因变量和边界条件，并对笛卡尔坐标系下热传导数学模型的控制方程进行了类比离散，得到了海水中钢棒阴极保护的电位分布。MARCASSOLI等[14]建立了海底管道阴极保护系统的二维模型，阳极采用恒电位控制，阴极假设有电绝缘涂层，并结合Butler-Volmer方程设置了钢表面的涂层缺陷，最后根据有限元法计算了海底管道的电位分布情况以及涂层缺陷对管道电位分布的影响等。CHIN等[15]计算了二维稳态涂层缺陷缝隙内电化学环境改变时的电流分布。其将模型的控制方程在轴对称柱坐标系下离散为二阶非线性差分方程，仅在径向方向设定 ，从而减少了计算量。

在国内，一些商业化的可用于有限元分析的软件如COMSOL、ANSYS、FEMLAB、FEPG、ABAQUS等已广泛用于管道阴极保护的计算中。

李佳奇[2]通过COMSOL Multiphysics软件对埋地管道阴极保护电位分布进行了系统计算，同时把传统阴极保护设计方法与数值模拟方法进行了对比分析，并提出将两种方法结合对提高阴极保护的质量、减少设计失误率有重要意义。李成杰[16]通过COMSOL Multiphysics软件建立了深海温跃层环境中海管阴极保护的数学模型，得到了海管阴极保护电位分布情况，其建模时采用了动态阴极边界条件，考虑了温度、与阳极之间的距离以及保护时间对管道电位分布的影响，解决了不同时间下钙沉积层对阴极极化性能影响的问题。

宋成立等[17]将薄壁管等效成实心圆柱体，通过ANSYS软件计算了采气厂管道阴极保护体系的电位分布，系统评价了管线的运行状况并优化了阴极保护体系。潘柳依等[18]通过ANSYS软件研究了采气厂中管道敷设垂直间距、涂层电阻率等对管道阴极保护电位分布的影响，成功优化了欠保护管道的阴极保护系统，为管网的优化设计提供了依据。徐勋[19]采用ANSYS软件研究了外界参数对管道阴极保护系统电位分布的影响，提出计算域深度和宽度的增大会使整个管面的电位分布趋于均匀，而相对长度对管道表面电位影响不大等观点。李丹丹等[20]利用ANSYS软件分析了管道间阴极保护的干扰问题，建模时将两条同沟敷设的管道等效成一条大直径的管道，降低了计算量，划分网格时在电场变化剧烈的区域对网格模型进行了局部加密处理，提高了计算的准确度。

纪俊刚[21]利用FEMLAB软件编制了计算程序，实现了海底管道阴极保护电位分布的计算。其采用了四面体单元进行网格划分，并设置了最大单元尺寸以及网格单元大小的增长因子来调整网格数量，有效控制了计算量、保证了求解精度。

孙吉星[22]在求解超长海管阴极保护电位分布的过程中,通过设置X、Y、Z轴比例因子、用正多面体来代替圆柱体进行网格划分、充分利用待解决问题的对称性以及可共用数据等方法实现了管道的准确剖分并有效控制了计算量。

目前，有限元法在管道阴极保护的设计上得到了普遍的应用，有限元法适用性强，特别适合解决几何和物理条件比较复杂的问题，便于编制标准化程序和工程应用。但其仍存在模型计算域只能为有限域、计算量大、计算时间长等问题，在计算超长管道、结构复杂管道等的阴极保护电位时与其他方法(如边界元法)相结合会得到更精确的结果。

2.3 边界元法(BEM)

20世纪80年代，边界元法逐步在我国得到应用，目前已经成功用于埋地管道、海底管道以及近海石油平台等领域，其在计算金属表面电位分布上实现了优化设计。边界元法是在经典积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法。其基本思想是用积分方程来求解微分方程。边界元法的网格划分模型如图3所示，由于边界元法只需要对边界进行离散化处理，因此可将计算域的维数降低一维，从而使得输入数据量和代数方程组的未知量大大减少，有利于计算速率和计算精度的提高。

图3 边界元法网格划分模型Fig. 3 Meshing model of boundary element method

TELLES等[23-25]采用边界元法解决无限域中的阴极保护问题，成功得到了舰船阴极保护的电位分布。SANTIAGO等[26]等成功将与时间有关的极化曲线作为边界条件融入到阴极保护数学模型中，为后人的研究提供了重要的依据。DIAZ等[27]优化了不同形状模型的辅助阳极的位置，从而准确地设计了电流均匀分布的各模型的阴极保护系统。

ORAZEM等[28]采用线性单元对模型进行网格划分，得到涂层缺陷对管道阴极保护电位分布的影响。BRAEIL等[29]在建模时通过试样连接管道来模拟涂层缺陷，并采用混合网格对阳极和管道进行网格划分，得到了带有涂层缺陷埋地管道的电位分布，同时使用电流切断法对试样的电位降进行了瞬时测量，并研究了试样电位降与土壤电阻率的关系。

BRICHAU等[30]建立了埋地管网阴极保护的OKAPPI模型，在管道轴向应用有限元法，在土壤无限大区域应用边界元法，将两种计算方法结合使用得到了管道轴向土壤电位分布和轴向、径向电流分布情况。MUHAREMOVIC等[31]采用有限元法和边界元法研究了牺牲阳极系统的计算参数并对电位分布的影响因素进行了探究。LACERDA等[32]通过双向边界元法，研究了细长管道中阴极保护电位和电流密度的分布情况。

伍欣[33]针对川气东送管道防腐蚀层的破坏以及阴极保护系统不起作用的问题，采用BEASY CP软件开展现场检测分析，得到了管道相应的保护电位准则，为阴极保护的日常管理维护提供了依据。赵雷亮[34]采用BEASY软件研究了阳极埋深、距管道距离以及埋设方式等对管道电位分布的影响。同时研究了站外干线阴极保护对站场阴极保护的干扰问题，并证明了当辅助阳极移动到一定距离时(200 m),其对站场管网的影响可以忽略。

刘立祺等[35]提出了一种三维管道边界元模型，用轴线代替管道并将其离散成线单元，积分在每个线单元对应的管道圆柱面上进行，有效减少了离散难度和单元数量。同时采用一种新型的快速多级边界元算法求解方程组，提高了计算速率。张东东等[36]也将快速多级算法应用于边界元法中，通过对二维管道表面电位分布的计算证明了此算法应用于阴极保护领域的可行性，为应用边界元法解决大规模复杂构件的数值计算问题提供了可行的思路。

胡舸[37]基于边界元法利用MATLAB软件开发了腐蚀电场阴极保护的仿真求解软件，该软件可以准确地计算均匀电解质中的电位分布，且对安装有牺牲阳极的海底管线腐蚀电场电位分布的测量有普适性。梁成浩等[38]采用极化曲线作为阴阳极的边界条件，并对其进行三阶段线性拟合处理。利用MATLAB软件编制程序计算了冻土层碳钢热管阴极保护系统中的电位分布，为稳定冻土层路基和管道的阴极保护设计提供了依据。

侯静等[39]通过边界元法对海底管道的阴极保护设计进行了评估，并计算了管道涂层破损率对管道电位分布的影响。陈静[40]采用线性拟合的阴极极化曲线作为边界条件，利用边界元法、镜像法以及轴对称法求得了管道的电位分布并优化了深井阳极的位置，从而得到了达到保护要求且电位分布均匀的区域性阴极保护优化方案。

近几年，边界元法因具有可以将计算域进行降维处理、所需数据量小、计算时间短、计算精度高等优点得到了广泛的关注。如由英国Computational Mechanics BEASY集团研发的BEASY CP软件就是其中的典型代表，从应用角度来说，BEASY CP软件具有通用性强、边界条件设定简单等优点。

3 三种数值解法的比较

以上三种方法在研究阴极保护体系，尤其是在海底管道阴极保护体系上都取得过成功，但有限差分法和有限元法的共同点是计算时必须对全部计算域进行网格划分，致使所需数据量大、计算量大、计算精度低，而边界元法只需对被保护管道的边界进行网格划分，克服了其他两种方法的缺点，成为阴极保护设计最具前景的数值计算方法，但其无法对非均匀介质系统进行计算。边界元法与有限差分法以及有限元法的比较如表1所示。

4 管道阴极保护数值模拟方法存在的不足及发展趋势

利用数值计算对阴极保护体系的电位分布进行研究已经逐渐得到了国内外专家学者的重视，从某种意义上说，阴极保护已经进入了数值仿真时代。但是应用数值模拟计算阴极保护电位分布时仍存在以下问题：

(1) 数学模型的建立问题

目前用于数值计算的模型大都是分布型模型，但实际阴极保护体系的状态是随时间发生变化的，腐蚀介质也并非均匀，因此在数学模型的建立方面有待进一步研究，应在计算模型中考虑介质不均匀性以及环境参数如土壤含水率、温度等因素周期性变化对管道阴极保护电位分布的影响。

表1 有限差分法、有限元法以及边界元法的对比Tab. 1 The comparison of finite difference method,finite element method and boundary element method

(2) 阴阳极边界条件的处理

在阴极保护电位分布的数值计算中阴阳极极化曲线的确定是至关重要的边界条件，但是由于缺乏对辅助阳极导电机理、阴极极化以及垢层随时间变化规律的深入研究，迄今尚未建立完善的阳极和阴极表面极化模型，因此阴阳极的极化特性也是今后研究的重点。同时，通过测量金属材料在各种介质中的极化数据，建立极化曲线数据库，也是阴极保护仿真技术走向工程应用的一个发展方向。

(3) 求解方法单一

目前常用的数值方法中，边界元法的计算域为无限域、无法处理非均质问题，有限元法正好相反。而实际问题的求解域往往是半无限域且求解域中介质也并非均匀分布，若采用单一的方法来解决问题，只能将某一边界简化处理、假设介质处于均匀或分区域均匀状态，这就使其与实际的阴极保护体系差别较大，从而产生误差。一种新的研究动向是将几种方法组合使用，从而提高解决实际问题的能力。

(4) 数值计算技术存在不足

包含多条管道且管道连接方式复杂的区域性阴极保护技术已逐渐受到关注，而如今的数值计算技术无法精确处理复杂的问题，如边界元法是目前最具前景的计算方法，但其形成的系数矩阵是非对称满阵，求解效率随求解规模的增大快速下降，其存储量和计算量严重制约着边界元法的发展。近几年，刘立祺等[35-36]提出了一种随着快速多级算法发展起来的快速多级边界元解法，其可以加快求解速率，为解决复杂的阴极保护体系提供了可行的思路和新的发展方向。

(5) 国内缺乏实用的阴极保护设计商业软件

目前一些专家学者如孙吉星[22]、陈静[40]等都对阴极保护系统的电位分布展开了研究，并编写了一些针对性的程序，同时部分商业软件如ANSYS、MATLAB等都可以用于阴极保护电位分布的计算，但是其针对性不强，这就带来了一定的系统误差，国内目前还没有针对阴极保护设计的综合专业软件，所以完善商业软件的研究也是今后的重点。

5 结束语

目前，在油气管道事业飞速发展的同时，管道面临的腐蚀风险也不断增加，作为控制腐蚀的主要措施，阴极保护在防止管道腐蚀方面的作用也显得越发重要。数值模拟计算的出现为阴极保护系统的设计提供了新思路，但同时也存在着一定的缺点与不足。本文介绍了三种常用的数值计算方法以及国内外研究学者对这三种数值计算方法的应用情况，并对比分析了其各自的优缺点，同时还指出了目前管道阴极保护数值模拟技术存在的不足,并提出了相应的解决措施，为以后的研究提供了参考资料，对阴极保护数值计算的长远发展具有积极的影响。

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AppliedDevelopmentofNumericalCalculationMethodsinCathodicProtectionofPipelines

As to the situation about numerical simulation for cathodic protection of pipelines, the equations of cathodic protection system and their three common boundary conditions are presented. Moreover, three numerical calculation methods are described and their latest applications are summarized. Also, the advantages and disadvantages about the numerical calculation methods are analyzed. Finally, the problems existing in this field and their solutions are proposed.

cathodic protection; numerical calculation; finite difference method; finite element method; boundary element method

10.11973/fsyfh-201711001

2016-05-03

国家自然科学基金(51301201)； 山东省自然科学基金(ZR2013EMQ014)

寇 杰(1969-),教授,博士,主要从事多相管流及油气田集输技术、油气储运系统安全工程、油气长距离管输技术的研究工作,13969877559,chuyunk@126.com

TG174.41

A

1005-748X(2017)11-0823-06