回归本心，几何问题回归几何解法

陈龙贤

我们在做解析几何题目时，容易不管三七二十一，一上手就设坐标，列方程，对图形本身缺乏必要的分析，这样会导致计算量可能超级大甚至难以做到底。其实，如果对图形进行细致分析，往往有“几何”味道更浓的一种解法，这样既减小了运算量，也能加深对题本身的理解。我们应意识到“解析几何”也是“几何”，要关注图形几何形态，几何性质，做到心中有图，见数思图，提高解析几何的解题能力。

例题：已知圆O：x2+y2=r2（r>0）与直线x-y+2=0相切.

（1）过点1，的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程；

（2）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O于B，C两点，且k1k2=-2，证明：直线BC恒过一个定点，并求出该定点坐标.

【正解】（1）圆心O到直线的距离为d==2=r，∴圆O的方程为：x2+y2=4.

若直线l的斜率不存在，直线l为x=1，此时l截圆所得弦长为2，符合题意；

若直线l的斜率存在，设直线l为y-=k（x-1），即3kx-3y+-3k=0，

由题意知，圆心到直线的距离为d==1，解得：k=-，

此时直线l为x+y-2=0，则所求的直线l为x=1或x+y-2=0；

（2）由题意知，A（-2，0），设直线AB：y=k1（x+2），

与圆方程联立得：y=k1（x+2）x2+y2=4，

消去y得：（1+k21）x2+4k21x+（4k21-4）=0，∴xA·xB=

∴xB=，yB=，即B，，

∵k1k2=-2，用代替k2得：C，

∴直线BC的方程为：y-=x-

即y-=x-（k21≠2），整理得y=x+=x+（k21≠2），则直线BC定點为-，0.

“老师，你出的题第一问还比较仁慈，第二问也太难算了吧，老师定的事，旁人不知道，鬼会知道。”

来来来，看看老师第二问的思路：

将坐标原点平移至点A，则圆的方程变为（x-2）2+y2=22，即：x2+y2-4x=0，设直线BC的方程为mx+ny=1，B（x1，y1），C（x2，y2），联立圆O和直线BC的方程得：x2+y2-4x（mx+ny）=0化简得：y2-4nxy+（1-4m）x2=0两边除以x2得：2-4n+1-4m=0 k1k2==1-4m=-2，解得m=，BC的方程为x+ny=1，恒过点，0，故在原坐标系中，直线BC恒过点-2，0=-，0。

“老师，你的解题思路是我人生走过最长的路。”

“回头看看走过的路，但凡涉及斜率和与斜率积的题是不是都可以用这样的方法来解呢？”

“好像有点道理。”

“我再来展示一下我的功力，用平几方法来解。”

如图，圆O的半径为2，设AD，BC交于M，连BD，CD，由于△AMC～△BMD，则有=，同理△AMB～△CMD，=-k1k2=tan∠BAD·tan∠CAD=====2，所以=2，解得AM=，故直线BC恒过定点-，0“解几问题平几化，它体现了数向形的转化思想，能极大地简化运算，大家是不是又多了一种思路呢？”

（作者单位：广西柳州高级中学）