基本（均值）不等式的巧学妙用

王石萌

在历年的高考数学试卷中，基本不等式作为一名“常客”，曾经以不同的面孔戏谑了众多考生。作为一名高三学生，短短三个月的亲密接触，使我对它终于有了一个全面系统的了解，下面对其简单地做一概括。

1.基本不等式：≤

（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0。

（2）等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号。

2.利用基本不等式求函数的最值

（1）积为定值，和有最小值：若ab为定值p，则当且仅当a=b时，a+b有最小值2。（积定和最小）

（2）和為定值，积有最大值：若a+b为定值p，则当且仅当a=b时，ab有最大值。（和定积最大）

（3）运用前提：“一正二定三相等”。

下面略举几例附加说明：

例1 已知函数f（x）=4x+，求在下列条件下函数的最值

（1）x>0 （2）x<0 （3）x≥2 （4）0

解析：（1）当x>0时，f（x）=4x+≥2=12，当且仅当4x=，即x=时等号成立。∴f（x）有最小值12。

（2）当x<0时，f（x）=4x+=--4x-≤-12，当且仅当-4x=-，即x=-时等号成立。∴f（x）有最大值-12。

（3）当x≥2时，f（x）=4x+在[，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（2）=8+=12。

（4）当0

注：由（3）（4）可知，当等号不成立时，“对号函数”f（x）=4x+的单调区间来帮忙。

例2 （1）设0

（2）若a<1，求a+的最大值。

解：（1）y=4x（3-2x）=2·2x·（3-2x）≤2·2=

当且仅当2x=3-2x。即x=时等号成立。

（2）y=a+=a-1++1=-1-a++1≤ -2+1=-1

当且仅当1-a=。即1-a=1，a=0时等号成立。

注：在运用均值不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足不等式中积（和）不为定值时，凑配法转化为定值。“正”“定”“等”的条件缺一不可。

例3 （1）设x，y∈（0，+∞），且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值。

（2）已知向量a=（m，1-n），b=（1，2），其中m>0，n>0，若a//b，则+的最小值为_______

解：法一：（1）由2x+8y-xy=0得y（x-8）=2x

∵x>0，y>0，∴x-8>0，y=，

∴x+y=x+=x+=x+2+=x-8++10≥2+10=18

当且仅当x-8=，即x=12时，等号成立。

∴x+y的最小值是18。

法二：由2x+8y-xy=0及x，y∈（0，+∞）得+=1

∴x+y=（x+y）+=++10≥2+10=18

当且仅当=，即x=2y=12时等号成立。∴x+y的最小值是18。

（2）∵向量a=（m，1-n），b=（1，2）。a//b。

∴2m-（1-n）=0，即2m+n=1

又m>0，n>0

∴+=+（2m+n）=3++≥3+2=3+2

当且仅当=。即m=1-，n=-1时等号成立。

∴+的最小值为3+2。

注：解决本题的技巧是熟练均值不等式的形式特点。

在应用时若不满足条件，则需要进行相应的变形技巧，以便得到均值不等式所需要的“和”或“积”为定值的形式。

游走在浩瀚的题海中，唯有不断地洞察，思考，才能真正玩转“均值不等式”。以上仅仅是我的一点看法，不当之处，敬请指正。

（作者单位：河南省南阳市五中）