例谈几何习题教学中的再创造策略

施彬

摘 要：针对习题教学杂、乱现象，通过“再创造知识的自然生长过程，形成知识系统；再创造思路的自然形成过程，注重方法迁移两方面谈对再创造策略的一点认识，从而培养学生自主探究的能力。

关键词：习题教学；再创造；策略

荷兰数学教育家符莱登塔尔认为，数学教学是“有指导的再创造”。本文试图通过举例来谈谈自己对再创造策略的一点认识。重点不是探究怎样解某个题，而是研究在今后几何习题教学中如何以该策略去指导学生。

一、再创造知识的自然生长过程，形成知识系统

（一）习题呈现及解答

（2014·绍兴）用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是___________________。

解：如图所示：

若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是：

①当CA⊥BD时，即sin35°=；

②当b≥a时。故答案为：sin35°=或b≥a。

（二）习题的自然生长过程再创造

1.生长起点：SSA不能判定两个三角形全等

例1 《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级下册1.6作三角形作业题C组第5题：已知∠β和线段a，b（如图2）。用尺规作△ABC，使∠B=∠β，BC=a，AC=b。这样的三角形能做几个？

评析：利用尺规作图可得，这样的三角形能作两个。由此说明两边和其中一边所对的角不能确定一个三角形，也就证明SSA不能确定两个三角形全等。

2.生长点一：舍去条件AC=b，探究结论

例2 已知∠β和线段a（如图3）。用尺规作△ABC，使∠B=∠β，BC=a，AC=b。这样的三角形能做几个？并确定相应a，b间满足的关系式？

评析：变式1将原型题中规定的AC长度b这一条件舍去，即b的长度是不确定的。此时需根据b的长度为分类标准进行讨论，由此我们发现上述中考题（2014·绍兴）考查的是变式1的情况（Ⅰ）

解：（Ⅰ）sinB=或b≥a时，这样的三角形能作一个；

（Ⅱ）当asinB

3.生长点二：舍去条件AC=b，∠B=∠β，探究结论

例3 用尺规作△ABC，使∠B=∠β，BC=a，AC=b。这样的三角形能做几个？并确定相应a，b间满足的关系式.

评析：从例1到例3是再创造知识的自然生长过程，可发现“角的大小、a，b间满足的关系式、能作出的三角形个数”这三者之间的联系与规律，形成了关于两边与一边对角构成的三角形个数的知识系统。

二、再创造思路的自然形成过程，注重方法迁移

（一）习题呈现与解答

例4 （2014·宁波）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法。

定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线。

（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）

解：如图2作图，

（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；

解：如图3①、②作△ABC。①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20；

②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40；③当AE=DE时，x不存在。

（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长。

解：如图4，CD、AE就是所求的三分线。

设∠B=a，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=a，∠ADE=∠AED=2a，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE=AD=x，BD=CD=y，

∵△AEC∽△BDC，∴x∶y=2∶3，

∵△ACD∽△ABC，∴2∶x=（x+y）∶2，

联立得方程组得x∶y=2∶32x=（x+y）∶2得x=y=，即三分线长分别是和。

（二）思路自然形成过程的再创造

1.你能模仿图1的三分线画法完成第（1）吗？

在原型题的基础上，第（1）题确定的是两个条件，其中条件②45°的顶角也为特殊角，学生很容易想到从等腰直角三角形入手去画三分线，如图5所示：

2.依据图1中“三分线”定义，试画出图3中示意图，并求∠C度数。

评析：让学生通过画图发现第三个等腰三角形的不确定性，以腰作为分类标准去展开讨论，再利用方程思想计算角度问题。实质考查“三分线”的概念。

3.图1与图4中条件有相同点吗？由此你能想到图4的三分线吗？设图1中AC=2，BC=3，求出三分线长？这对求图4三分线有何启发？

变式3确定的是两内角之比为1∶2，首先要求画出三分线？并增加条件AC=2，BC=3，求三分线的长？此问蕴含着二点方法的迁移，如图6所示：

方法迁移一：从图1到图3是从特殊到一般的过程。启示是：当三角形内两内角之比为1：2时，作三分线首先考虑的是那条两倍角的角平分线，再过点A作第二条三分线，将三角形ACD划分成两个等腰三角形，通过尝试我们发现这种作法扩展到一般情形也是适用的。

方法迁移二：求三分线长度的方法的迁移。可设图1中AC=2，BC=3，利用等腰三角形性质及△ABC∽△ACD，很容易求出图1中AE和CD的长度。图4的不同之处在于AC≠CD，因此这里要设两个未知数AE=x，CD=y，需建立联立方程，此时，仍可用△ABC∽△ACD，或增加△AEC∽△BDC建立方程。因此，从求三分线长度的方法来说，从特殊扩展到一般情形也是适用的。

它山之石，可以攻玉。笔者认为，在几何习题教学中利用上述再创造策略，便能从茫茫题海中挖掘一些精彩题目的丰富内涵。培养自主探究的数学精神。

参考文獻：

1.浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》（七年级）.

2.教育部《数学课程标准（实验稿）》，北师大出版社，2012年1月第1版.

（作者单位：浙江省良渚一中）