空间桁架结构优化设计

戴一范++张淑杰++周阳

摘要： 为获得空间桁架结构的合理构型，以某空间设备支撑结构为例，分析结构材料在设计空间的分布形式和桁架结构的传力路径。在已知载荷约束和设计空间大小的条件下，基于连续体拓扑优化方法，以静态多工况刚度和动态固有频率为多目标函数进行优化分析。依据设计要求确定计算模型的结点数和结点位置，获得满足要求的空间桁架结构并进行优化设计。优化结果比原模型质量减少36.7%，一阶模态提高3.6%。

关键词： 桁架结构； 拓扑优化； 多目标； 构型

中图分类号： V19文献标志码： B

Optimization design of space truss structure

DAI Yifan1， ZHANG Shujie1， ZHOU Yang2

（1. School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics， Tongji University， Shanghai 200092， China；

2. Shanghai Yuesheng Information Technology Co.， Ltd.， Shanghai 201100， China）

Abstract： In order to obtain the reasonable configuration of space truss structure， the distribution form of structural material and the transmission path of truss structure are analyzed by taking the supporting structure of space equipment as an example. On the basis of continuum topology optimization method， under the condition that the load constraint and design space size are known， the static multicondition stiffness and dynamic natural frequency are optimized and analyzed as multiobjective functions. According to the design requirements， the node number and node positions of the calculation model are determined， the space truss structure is obtained， and the optimum design is achieved. The final optimization result is that the mass of the original model is reduced by 36.7% compared with the original models， and the first mode is improved by 3.6%.

Key words： truss structure； topology optimization； multiple objective； configuration

收稿日期： 2017[KG*9〗05[KG*9〗17修回日期： 2017[KG*9〗06[KG*9〗28

作者简介： 戴一范（1989—），男，广西平南人，硕士研究生，研究方向为航天器结构优化设计，（Email）08daiyifan@tongji.edu.cn0引言

桁架结构优化设计常用的基结构法[12]以虚拟的初始基结构入手，通过改变杆件结点位置、拓扑连接情况和截面尺寸实现桁架结构的拓扑和布局优化，其最优解是基结构的一个子集，因此合理的结构形式是整个结构优化的基础。AZID等[3]基于遗传算法，提出桁架基结构的自动形成机制，避免传统的基结构法中存在的缺陷；姜冬菊等[4]智能生成形式多样、合理的基结构代替传统优化模型中单一基结构。此类问题的研究大多是针对二维平面桁架的。在特定的载荷和约束条件下，对于三维空间桁架，很难采用定量的方法来描述其结构形式，因此该类研究较少。

本文在已知三维设计空间大小和约束载荷的条件下，基于连续体拓扑优化方法建立优化模型，以多工况下静态刚度和动态固有频率为目标函数，获得结构材料在设计空间的分布形式和传力路径，构造空间桁架的结构构型，并以此为基础进行详细设计。

1优化理论

1.1连续体拓扑优化

连续体拓扑优化主要针对平面、板壳、实体等结构，在满足一定的边界载荷条件下，寻找结构材料在设计空间的分布形式，并确定結构内有无孔洞以及孔洞的数量和位置等拓扑形式，使结构能将外载荷传递到支座。[5]

目前，连续体拓扑优化方法主要有均匀化方法、变密度法和变厚度法[6]等。其中，变密度法作为常用的优化方法，已经被大多数国外先进结构优化设计软件采用，并取得良好的效果。变密度法采用固体各向同性材料惩罚（solid isotropic material with penalization，SIMP）模型方法，将有限元模型设计空间的每个单元的密度作为设计变量。引入一种假想的密度可变的材料，其相对密度（伪密度）与弹性模量之间的关系也是假定的，以每个单元的伪密度为设计变量，将结构拓扑优化问题转化为材料最优分布设计问题。SIMP模型通过引入惩罚因子对中间密度值进行惩罚，使中间密度向01聚集，拓扑优化设计结果能很好地逼近实体和孔洞分明的01优化结果。[7]材料插值模型的惩罚函数定义为Ei（x）=xpE0，0≤xmin≤x<1（1）式中：Ei（x）为第i个单元的密度；E0为单元满材料时的弹性模量；x为材料的相当密度；p为惩罚因子。

采用OptiStruct进行连续体拓扑优化，使用SIMP插值方法作为材料模型，用凸规划法中的移动渐进线法作为优化算法。

1.2结构多目标拓扑优化目标函数

结构多目标拓扑优化以体积作为约束，同时考虑多工况下静态刚度目标和动态振动频率目标的拓扑优化。每一个工况对应一个刚度最优的拓扑结构，不同的载荷工况会得到不同的拓扑结构。[8]因此，多工况拓扑优化问题属于多目标拓扑优化问题。本文由折中规划法结合平均频率法可得到多目标拓扑优化的综合目标函数为[9]MIN F（x）=ω2mk=1wkCk（x）-Ck，minCk，max-Ck，min2+（1-ω）2Λmax-Λ（x）Λmax-Λmin212（2）式中：F（x）为综合目标函数；ω为柔度目标函数的权重，取值为0.6；m为静力载荷工况数，取值为4；wk为第k个工况的权值，分别取值为0.4、0.2、0.2和0.2；Ck，max和Ck，min分别为第k个工况柔度目标函数的最大值和最小值；Λ（x）为平均频率；Λmax为固有频率目标函数的最大值，可以通过单独以频率为目标进行优化获得；Λmin为固有频率目标函数的最小值，可采用原来模型的固有频率。

2实例研究

为获取某空间设备支撑桁架的结构形式，对其进行连续体拓扑优化。该桁架结构示意见图1，其中黄色部分表示空间设备，为非设计区域；蓝色部分表示支撑桁架所在的空间，即设计区域。设计区域直径为3 m，高度为1 m。空间设备通过48个压紧点连接到设计区域即支撑桁架上。

2.1边界载荷条件

假设空间设备的质量为30 kg，通过48个压紧点将自身结构质量均匀传递到设计区域上，代表支撑桁架所要承受的结构重力。支撑桁架通过底部的3个支撑点与底部基座相连接，设计要求其第1阶固有频率不小于60.0 Hz。设计区域的材料密度为1 500 kg/m3，弹性模量为200 GPa，泊松比为0.3。在本例中，主要考虑4种静态载荷工况和1种动态固有频率工况，模拟在实验装配及调试阶段的静力学环境，约束条件为底部3个支撑点固支，各工况描述见表1。

2.2优化模型建立

先建立结构的有限元模型，定义设计区域的材料属性，确定载荷和边界条件并建立相应的载荷分析工况。根据设计区域的几何结构和空间布置要求，指定拓扑优化的设计空间。

拓扑优化模型包括设计变量、目标函数和约束条件3部分。以设计空间内每个单元的相对密度为设计变量，以式（2）为拓扑优化目标函数，以体积比（即优化结构体积与可设计结构体积的比值）为优化约束条件。具体优化问题可描述为：在5种工况下，以设计区域体积比为约束，使得结构的柔度最小（即刚度最大）并且第1阶动态固有频率最大。连续体结构拓扑优化问题的数学模型为

MINF（X）=f（x1，x2，…，xn），

X=（x1，x2，…，xn）

s.t.V（X）=ni=1xivi≤hni=1vi，i=1，…，n

Xli≤Xi≤Xui（3）

式中：X=x1，x2，…，xn为拓扑优化设计变量；xi为第i个单元的相对密度；F（X）为同时考虑刚度和频率要求的多目标拓扑优化目标函数；V（X）为设计区域结构的总体积；h为设计区域的优化体积比；vi为第i个单元的体积。

2.3优化结果

采用数学规划方法，在OptiStruct中通过求解灵敏度构造显式模型，用最小步长迭代寻优计算，在计算结果收敛的前提下，经过81次迭代得到拓扑优化分析结果。隐藏相对密度小于0.1的单元，得到单元密度分布云图见图2，此结构即为同时满足多工况静态刚度要求和第1阶动态固有频率要求的拓扑优化结构。连续体拓扑优化数学模型中各目标的迭代历程见图3。结构第1阶动态固有频率经过81次迭代后收敛值为98.8 Hz，设计区域的优化体积比在迭代历程中違反约束的上限值0.05。

2.4提取分析结果

由拓扑优化结果可以得到在静态多工况下柔度最小且第1阶固有频率最大的结构。因此，可由图2的单元密度分布云图确定桁架材料在设计空间的分布形式和具体的传力路径，并按照沿桁架材料的分布形式和力的传递路径布置杆件的原则，得到桁架结构的初步骨架模型和结点位置，见图4。

去除所有单元密度分布，并根据图4的结果抽象后用线和点来表示杆件和结点位置，得到桁架结构初步构型见图5。

2.5确定空间桁架的结构形式

由连续体拓扑优化结果可知，第1阶固有频率为98.8 Hz，大于60.0 Hz，此时的优化结果是一个类刚架系统，虽然可以显示对系统刚度贡献最大的布局形式，但设计材料在各结点位置应处于固接的连续状态。图5中的杆件实际上是通过铰接来连接的，并不是真实优化结果应有的固接连续状态，会导致桁架结构刚度和稳定性不足。

为解决上述问题，需先在图5所示的桁架结构初步构型基础上添加一些非固定的设计结点，再通过连接选择以增加杆件数，将桁架的结构形式扩展成更细的拓扑结构。具体的杆件连接措施为：（1）2根相邻杆件间的夹角不要过小或过大，以近似为等边三角形形状为好；（2）2个结点间连接的杆件应尽可能最短，并且不能相交；（3）每个结点所连接的杆件数目不能超过8个。

综合考虑工程实际要求，如边界条件和设计空间的对称性、最小距离限制、桁架最短杆长不小于30 cm等要求，确定非固定的设计结点数为3个，结点位置通过混沌序列在设计空间内随机生成。首先通过混沌映射中经典的Logistic映射[10]产生具有混沌特性的任意点，然后再映射到给定的设计域内。Logistic映射方程为xn+1=λxn（1-xn），0

采用混沌序列的Logistic映射随机生成非固定的设计结点后，经过杆件的连接选择，获得空間桁架的结构构型，见图6，图中的白线表示在图5的桁架初步结构构型基础上新添加的杆件。

3空间桁架结构的详细设计

在图6桁架结构构型的基础上进行详细设计，以桁架结构质量最小、第1阶固有频率最大为优化目标，由折中规划法建立优化目标函数，优化模型见图7。

以桁架结构中9类不同杆件的内径R（见图8）为设计变量进行优化。各杆件内径R的初始值和变化量见表2。采用HyperMesh中的moph控制模块定义R，经30步迭代计算后的优化结果见表3。最终优化结果显示，桁架结构优化后的质量比原模型大幅减小，达到36.7%；第1阶固有频率有所提升，比原模型提高3.6%，符合设计要求。

4结论

针对空间复杂桁架结构难以确定结构形式的问题，以某空间设备支撑桁架为例，基于连续体拓扑优化方法，构建满足刚度和频率要求的多目标拓扑优化目标函数，获得桁架材料在设计空间的分布形式和传力路径。根据实际工程要求确定结点数和杆件连接，获得满足设计要求的一种桁架结构形式，并在此基础上进行详细优化设计，最终结果比原模型质量减少36.7%，第1阶模态提高3.6%，符合设计要求。本文提出的研究方法可为空间复杂桁架结构的优化设计提供借鉴和指导。参考文献：

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