追问初中学生对概念的类比

江勤娟

[摘 要] 数学思想是数学学习的精华部分，学生对数学思想的领悟直接决定着其数学学习的效果和应用数学的能力. 为此，在常态化的数学教学过程中，教师要注重数学思想的渗透和引领.

[关键词] 类比；数学教学；追问；概念教学

类比思想是数学中的重要思想，是解决新问题和学习新知识常用的策略，通过运用已有的知识经验，将新的问题与原有问题进行比较，找到它们的相似或相通之处，从而创造性地解决新问题. 让学生领会类比的思想，学会用类比思想解决学习中的问题，对提高教学效率有积极的作用. 下文笔者以“二次函数”第一课时的教学片段为例，就类比思想在教学中的渗透谈谈自己的看法.

独学思考，提出问题

新课程改革的最大呼吁就是将课堂还给学生，把学习的自主权还给学生. 因此，让学生独立思考，提出疑问，可以有效地让学生的注意力集中到课堂中，激发学生的学习欲望，启发学生的思维、引领思维的方向.

完成方式：学生独立快速阅读课本相应内容，了解本节课所学内容，并列出本节课想获取的知识或想解答的问题，随后全班展示问题.

教师通过对学生所提的问题进行归类、汇总，整理出具有代表性和讨论价值的问题，作为“智慧问题”渗透于课堂中共同探讨解决. 本节课学生提出的智慧问题如下：

①二次函数学什么，难不难？

②什么样的函数叫二次函数？

③y=（x+1）2-（x-1）2和y=是二次函数吗？

④二次函数y=ax2+bx+c中为什么a≠0？b=0可以吗？

⑤学习二次函数有什么用？

⑥二次函数的自变量x有范围吗？函数值y能等于0吗？

⑦二次函数y=ax2+bx+c的解析式中需要几个条件才能求出a，b，c的值？

⑧做二次函数的题目有哪些技巧经验？

二次函数是初中阶段的重点和难点，本节课是二次函数的起始课，正确有效地引导，让学生对本章内容产生兴趣是章节起始课的教学目标，也是二次函数第一课时的教学目标. 在此之前学生已学过一次函数，通过类比思想，能对二次函数有初步的认识. 通过质疑提问，一方面可以激发学生对本节课内容的探索欲望，另一方面学生也因为一次函数的回顾而对二次函数的学习充满信心和亲切感，提升学习的亲和力.

类比旧知，引入新知

类比思想是初中生学习概念的主要依托和方法，通过类比旧知，学生可以重新认识旧知，并在教师的指导下用类比的思想认识新知，无形之中达成对新概念的理解與知识的建构. 二次函数的概念可以通过与一次函数概念的类比推导出来，因此让学生先从解析式的联系中感受二次函数与一次函数的联系与区别.

①已知摩托车的速度为60 km/h，则总路程s与时间t的函数关系式为______.

②一只乌龟掉进了5米深的井底后沿着井壁往上爬，已知它每分钟爬0.5 m，则剩余的路程s（m）与乌龟爬行的时间x（min）之间的函数解析式为______.

③小明每天早上匀速跑步去学校，已知他家离学校3000 m，则他上学所用的时间t与速度v的函数关系式为______.

④圆的面积S与半径r之间的函数关系式为______.

⑤已知菱形的两条对角线的和为24 cm，设其中一条对角线的长为x cm，则菱形的面积S（cm2）与x（cm）之间的函数解析式为______.

⑥某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y为______.

完成方式：学生独立完成，后全班交流展示.

学生得到了以下答案：①s=60t，②s=5-0.5x，③t=，④S=πr2，⑤S= -x2+12x，⑥y=20（1+x）2=20x2+40x+20.

问题1：你能对上述六个解析式进行分类吗？分类的标准是什么？

问题2：你能类比一次函数的概念对二次函数下定义吗？

师生共同揭示定义：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫作二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

问题3：指出④⑤⑥中的二次项系数、一次项系数、常数项.

问题4：解决智慧问题①②③，强调判定二次函数的方法.

二次函数的概念是本节的重点内容，让学生通过观察不同类型的函数解析式，类比一次函数的定义，自己对二次函数下定义，有比较地理解二次函数的概念，感知类比思想.

运用新知，展示才智

新知的运用是每节课的重要环节，一方面通过对所学知识的运用，可以加深学生对概念的理解，使知识掌握更牢固；另一方面，因课堂是一个展示的平台，通过问题的解决可以为学生提供展示的机会. 其实在展示的过程中，学生也会发现很多地方都有异曲同工之妙，即应用之中也有类比思想.

问题1：函数y=ax2+bx+c（其中a，b，c为常数），当a，b，c满足什么条件时，（1）它是二次函数？（2）它是一次函数？（3）它是正比例函数？

通过该问题，让学生厘清各项系数与函数类型的关系，掌握正比例函数、一次函数、二次函数之间的关系，从而对二次函数中二次项系数a≠0加深印象.

问题2：若函数y=（m2-1）xm2-m为二次函数，求m的值.

题后反思：你觉得这个问题中容易出错的地方在哪里？（易忽视m2-1≠0）

你能总结这类问题的解题经验吗？（①讨论次数，②讨论二次项系数）

该问题是考查二次函数概念的常见题，学生往往只考虑到了次数，容易忽视二次项系数不为0这种情况，所以作为例题共同讨论、并总结做题思路与解题经验，可以在一定程度上让学生避免类似错误再次发生，培养他们考虑数学问题的严谨态度.

再解决智慧问题④，理解二次函数的实质.

内化知识，总结经验

学生是知识的接收者，教学的目的是为了让学生将所学内容内化为自己的知识，建构自己的知识体系，总结规律、形成方法. 总结经验是促进知识内化的有效途徑与方法.

解决智慧问题⑤，学习是为了服务于生活，学习数学是为了更好地服务生活，用二次函数解决实际问题即是函数的“用处”.

例1 如图1，一张正方形纸板的边长为2 cm，将它剪去4个全等的直角三角形，设AE=BF=CG=DH=x（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2），求：（1）y关于x的函数解析式和自变量的取值范围. （2）当x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示.

在问题（1）中，易证四边形EFGH为正方形，学生们发挥才智，共想出了4种解答方法. 方法1是先表示出边长，再平方求面积；方法2是用面积的和差，将四边形EFGH的面积转化为正方形ABCD的面积与四个三角形面积之差；方法3是连接HF，将正方形ABCD分割为两个梯形，再用面积和差算出△HGF的面积，两倍即为四边形EFGH的面积；方法4是过H，G分别作与正方形ABCD的边平行的线段，将图形分割来求. 这四种方法虽然繁简不一，但都体现了学生们积极思考、乐于动脑的精神，教师要对此进行肯定，有利于学生们发散思维的训练. 以该问题为例，解决智慧问题⑥，让学生知道函数自变量的取值范围与实际问题的关系.

问题（2）的表格如下：

从表格中引导学生们发现二次函数的对称性、增减性、最值，为下一节课的内容做好准备.

例2 已知二次函数y=x2+px+q，当x=1时，函数值为4；当x=2时，函数值为5，求这个二次函数的解析式.

师：如果将解析式变成y=ax2+px+q，其余条件不变，你还能求出它的解析式吗？

生：不能.

师（追问）：那需要增加怎样的条件才可以求出呢？

生：再增加一个点.

变式：已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=1时，y=2；当x=-2时，y=-7；当x=-1时，y=0，求这个二次函数的解析式.

题后反思：解决智慧问题⑦，掌握待定系数法求二次函数解析式的方法.

师：类比一次函数解析式的求法，你能总结二次函数解析式的求法吗？

生：待定系数法，解析式中有几个未知字母就需要几个点.

这两个问题是用待定系数法求解析式的基本问题，由例2到变式的过渡是为了让学生感悟“求几个未知数就需要几个方程”的思想在这里的迁移，从而更清楚地知道求解析式需要的对应点的个数.

解决智慧问题⑧，师生共同总结本节课所学的内容及实际问题的答题技巧.

二次函数是初中数学代数的重点和难点，第一课的概念教学对整章的教学有着奠基作用. 函数本身就是较抽象的内容，学生不易理解，类比一次函数，可以让学生有参照，找到熟悉感，从而对学好本章内容树立信心. 在教学中，教师的关注点应是学生对二次函数与一次函数之间关系的理解及类比思想的掌握与应用.

类比思想是初中阶段的重要思想，笼统地来说，解决一切新的问题都是在已知问题和已知方法的前提和基础上进行的. 因此，在数学教学中渗透类比思想，尤其是概念的类比，不仅可以让学生学会知识的迁移，而且在此基础上学会方法的类比也可以让学生感知解决问题的基本思路，提高学习效率.