无穷积分的收敛性与无穷远处的极限

杨远航

【摘要】无穷积分在物理学和概率统计上具有十分广泛的应用。无穷积分收敛并不意味着被积函数在无穷远处的极限为0，本文给出一些保证上述结论成立的充分条件。更进一步，在单调性的条件下可以给出无穷小量阶的估计。最后举例说明了本文的结果可以帮助判断某些函数的非一致连续性。

【关键词】无穷积分  无穷小量的阶  一致连续

【中图分类号】O172.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）40-0158-02

1.前言

在定积分的研究中，我们在一个有限闭区间[a，b]上研究有界函数f（x），若函数永远在x轴的上方，我们说■f（x）dx表示的就是函数图形下的面积。然而实际中有限区间上定积分的应用是非常有限的，通常我们需要考虑无穷积分和瑕积分等反常积分。例如在概率论与数理统计中，指数分布具有如下的概率密度函数

p（x）=λe-λx， x>00， otherwise

由于服从指数分布的随机变量只能取值于非负实数，从而常常被用來描述各种有关寿命的分布，像灯泡的寿命，动物的寿命，排队论中的服务时间等。我们比较感兴趣的量，比如若某工厂生产的灯泡寿命服从参数为0.01的指数分布，则灯泡的平均寿命为■0.01xe-0.01xdx于是研究无穷积分是非常有必要的。

2.反常积分的收敛性与无穷远处的极限

当f（x）≥0，a通常为一个非负常数时，由■f（x）dx的几何意义来看，似乎当x越大时，f（x）的值要很小才能保证无穷积分■f（x）dx的收敛性。然而我们很容易举出反例：

f（x）=■，x不是正整数1，x是正整数

则无穷积分■f（x）dx收敛，但是f（x）永远在正整数点处为1，从而不满足■f（x）=0我们还发现，无穷积分■f（x）dx收敛，加上被积函数的非负性甚至是非负性加连续性都不能保证被积函数f（x）在无穷远处的极限为0。于是本文讨论■f（x）dx收敛与■f（x）=0的关系，并指出在合适的条件下■f（x）dx收敛能够推出■f（x）=0。

2.1被积函数在无穷远处极限为0的充分条件

首先给出在被积函数是[a，+∞）上一致连续的时候，此时无穷积分收敛可以得到被积函数在无穷远处的极限为0。

定理2.1若函数f（x）在[a，+∞）上一致连续，且无穷积分■f（x）dx收敛， 证明■f（x）=0

证明：（反证法）若x→+∞时， f（x）→0。则存在？缀0>0，对？坌A>0，存在x1>A，s.t.|f（x1）|≥？缀0。

又f（x）在[0，+∞）上一致连续，则对■>0，？埚δ>0，当|x'-x''|≤δ时，有|f（x'）-f（x''）|<■，从而当x∈[x1，x1+δ]时，

|f（x）|=|f（x）-f（x1）+f（x1）|>||f（x）|-|f（x）-f（x1）||>■

则必有f（x）与f（x1）同号。于是若f（x1）>0，则f（x）>0，由上式可知f（x）>■，故■f（x）dx≥■δ此式对于f（x1）<0的情况也是成立的。

根据以上结果，存在■δ>0，对任意的A>0，存在x1+δ>x1>A，使得■f（x）dx≥■δ。根据柯西收敛准则■f（x）dx发散。与条件矛盾，从而■f（x）=0

定理2.2设函数f（x）满足f "（x）存在，且对于任意的A>α，f（x）和f "（x）都是[a，A]上的可积函数。■f（x）dx和■|f "（x）|dx都收敛，证明■f（x）=0

证明：由于■|f "（x）|dx<+∞则对？坌∈>0，？埚M>0，当A1，A2>M时，有■f "（x）dx≤■|f "（x）|dx<？缀于是f '（A2）-f'（A1）<？缀，从而由柯西收敛准则可知■f '（x）存在。

假设■f '（x）=a（a≠0），不妨认为a>0.

则存在N，当x>N时，f '（x）>■>0.

于是f（x）在（N，+∞）上单调递增，■f '（x）dx≥■（β-N），

即f（β）-f（N）≥■（β-N），两端令β→+∞可得■f（x）=+∞，这与■f（x）dx收敛矛盾，从而■f '（x）=0

若■f（x）≠0，则存在{xn}和？缀0，使得■xn=+∞，且有f（xn）>？缀0>0或f（xn）<-？缀0<0，不妨认为第一种情况成立。

对任意的？缀>0，？埚K，当x>K时，f '（x）<？缀。

于是，对每个xn，n充分大，使得xn-■>K。取δ<■，在（xn-δ，xn+δ）内存在ξ，使得：

f（x）-f（xn）=f '（ξ）·x-xn<？缀δ

f（x）>f（xn）-εδ>？缀0-？缀δ>0.

故存在（？缀0-？缀δ）δ，对任意的M>K>0，存在xn+δ>xn>M，s.t.■f（x）dx>（？缀0-？缀δ）δ。从而由柯西收敛准则可知■f（x）=0 定理2.3 若f（x）连续可微，无穷积分■f（x）dx和■f '（x）dx都收敛，则■f（x）=0.

定理2.3的证明类似，这里不再赘述。

2.2更进一步的结论：阶的估计

定理 2.4 设函数f（x）在[a，+∞）上单调，并且无穷积分■f（x）dx收敛，证明■xf（x）=0，即f（x）=ο（■）（x→+∞）。

证明：不妨设f（x）单调递减，则我们有f（x）≥0。因为若存在某个x1，s.t.f（x1）<0，则当x>x1时，f（x）

由于■f（x）dx收敛，则对？坌？缀>0，？埚A>α，当A">A'>A时，有■f（x）dx<■.

故对？坌x>2A，，0≤xf（x）≤2■f（t）dt<？缀，从而■xf（x）=0。

定理 2.5设函数f（x）满足xf（x）在[a，+∞）上单调下降，并且无穷积分■f（x）dx收敛。证明■xf（x）ln（x）=0，即f（x）=ο（■）（x→+∞）.

证明：不妨认为a>0，首先证明xf（x）非负，否则若存在x1≥α，s.t.x1f（x1）<0，则当x≥x1时，xf（x）≤x1f（x1），f（x）≤■，即-f（x）≥-■≥0，则由比较判别法可知■f（x）dx发散，这与条件矛盾，从而xf（x）非负。

由■f（x）dx收敛知，对？坌？缀>0，？埚A>α，当A">A'>A时，有■f（x）dx<■.

于是当x>A2时，0≤■xf（x）ln（x）≤■tf（t）■dt=■f（x）dt<■，从而■xf（x）ln（x）=0。

3.应用

下面讨论上述结果在证明函数的一致连续性上的作用，首先给出一致连续性的定义。

定义 3.1 设函数f（x）在区间I上有定义， 若？坌？缀>0，？埚δ>0，当x1，x2∈I且x1-x2<δ时，有f（x1）-f（x2）<？缀则称f（x）在区間I上一致连续。

例 3.1判断函数f（x）=cosx2在[1，+∞）是不是一致连续性。

方法一：取xn'=■，xn"=■（n=1，2，…），则有xn'-xn"=■-■=■→0（n→+∞）。

但是cosxn'2-cosxn"2≡1（n=1，2，…），从而f（x）=cosx2在[1，+∞）不是一致连续。

方法二：由于■cosx2dx=■■dt

对于任意的x>1，cost在[1，x]上可积，并且对任意的x>1，■costdt≤2又■在[1，+∞）单调， ■■=0。从而由狄利克雷判别法可知■cosx2dx收敛。而由于f（x）在xn=■（n=1，2，…）处取值恒为1，从而f（x）在正无穷处不可能以0为极限。则由定理2.1可得，f（x）=cosx2在[1，+∞）不是一致连续。

4.总结

本文首先指出无穷积分存在的必要性，接着给出了一些由无穷积分收敛得到被积函数在无穷远处极限为0的充分条件，然后在单调性下得到更进一步的结果：阶的估计。最后举例说明我们的结果可以用来判断函数不是一致连续的。

参考文献：

[1]伍胜健. 数学分析[M]. 北京大学出版社， 2009.

[2]裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 高等教育出版社，2006.