对普朗克公式的再认识

徐 美

(北京科技大学数理学院应用物理系，北京 100083)

1900年，德国物理学家普朗克(Max Planck，1858—1947)提出“能量量子化”的假设，从而完美地拟合出黑体辐射的整个实验曲线——从单色辐出度较小的低频段，经对应于单色辐出度极大值的某一频率，到单色辐出度渐弱的高频段，从而解决了维恩公式低频段与实验不符的问题，也化解了由瑞利-金斯公式引发的高频段的“紫外灾难”。

5年之后的1905年，就在普朗克本人仍然纠结于这种“不完全的计算”,试图回归“经典”解释的时候，爱因斯坦(Albert Einstein，1879—1955)却在分析光电效应实验结果时，发表了著名的光电子理论，明确指出光子能量具有量子化特征。基于这一观点，爱因斯坦成功地解释了光电效应实验现象，这使“能量量子化”的假设获得了有力的支持。从此，量子化的观点很快被物理学界广泛接受，20世纪初物理学天空“两朵乌云”中的一朵化成了耀眼的量子物理学光辉。

1 从数值拟合的角度认识普朗克公式

1896年，维恩(W.Wien，1864—1928，德国)根据经典热力学和麦克斯韦分布律，导出了黑体辐射的单色幅出度与辐射频率之间的关系，即维恩公式：

Mν=αν3e-β ν/T

(1)

1900年6月，瑞利(J.W.Strutt，1842—1919，英国)根据经典电磁学和能量均分定理得到了瑞利公式，后经金斯(J.H.Jeans，1877—1946，英国)修正，即成瑞利-金斯公式

(2)

1900年12月，普朗克提出了著名的普朗克公式[1]

(3)

为了更好地分析以上3个公式，不妨将它们改写为

式中,α、α′、α″和β、β′、β″均为常量。

可以看出，上述(4)、(5)、(6)三式具有极其相似的形式，它们都可以看作是两部分的乘积：Mν=f1(ν)·f2(ν)。其中第一部分f1(ν)正比于频率ν的三次方，它随频率的增大而增大，直至无穷。很显然，如果只有这一部分，必然会出现单色幅出度无穷大的情况，瑞利-金斯公式的“紫外灾难”就源于此(尽管该公式在f2(ν)中作了ν-1的“补救”，但也只能减缓这一趋于无穷大的趋势，而无法改变本质)。

为了使单色幅出度曲线在越过极大值之后能够随频率增高而转为足够快地下降，必须在公式中增加作用相反的“抑制因素”，这就是第二部分函数f2(ν)，这一函数必须在高频段发挥主导和控制作用，不仅要抑制曲线的无限上升，还必须使它逐渐转为下降，直至趋向于零。

适应这一要求最简单而通用的函数就是负幂函数ν-γ和负指数函数e-γ ν(式中γ为常数)。瑞利-金斯公式和维恩公式中分别用到了这两种函数形式。在瑞利-金斯公式(5)中，负幂函数的具体形式是与频率成反比，即f2(ν)=ν-1，如前所述，它无法抑制f1(ν)随频率三次方的增大效应。事实上，由于负幂函数与f1(ν)函数同形，二者的乘积必然会以频率的幂函数形式随频率单调变化，不会出现实验曲线中的极大值。而在维恩公式(4)中，f2(ν)以负指数函数形式出现，f2(ν)=e-γ ν，其函数值随频率增大而迅速减小，且减小的速度远胜于f1(ν)函数中频率的三次方随频率增大的速度，起到了预期的高频控制作用，因此维恩公式在高频(短波)阶段与实验结果吻合得很好(见图1(a)[2])。

图1 维恩公式、瑞利-金斯公式和普朗克公式的对比(a) 波长域; (b)频率域

但是，维恩公式在低频(长波)段则与实验数据不甚相符。由此看来，只考虑函数在高频段的控制作用也还不够，必须同时兼顾高频和低频，使函数在低频时趋近于瑞利-金斯公式，高频时趋近于维恩公式。

具有这种特性的函数就是f2(ν)=(eγ ν-1)-1，这也正是普朗克公式(6)中出现的函数。

根据指数函数的展开式

ex=1+x+x2/2!+…+xn/n!+…

(7)

当x很小时(相应于低频情况)，略去高阶无穷小量，可得近似式

ex-1≈x

(8)

与式(5)对比可知，这就是瑞利-金斯公式的情况。而当x很大时(相应于高频情况)，有

ex-1≈ex

(9)

与式(4)对比可知，这就是维恩公式的情况。也就是说，只需对普朗克公式分别取低频极限和高频极限，即可得到瑞利-金斯公式和维恩公式(图1(b)[3])。普朗克公式的精妙之处，由此可见一斑。

2 从物理的角度理解普朗克公式

如前所述，普朗克公式兼顾了高频和低频两种情况，只需选取合适的常数，即可获得较高的拟合精度。然而，物理学家不会满足于单纯的数值拟合；在他们看来，找到一个能很好地与实验数据相吻合的函数，这件事情并无本质困难，只要下决心寻找、试验、修正，总是可以如愿的。物理学家真正关注的是拟合函数的物理意义，力求从理论上解释，为什么是这个函数，而不是别的函数？此外，还希望这个函数能够解释其他已有的相关实验事实和规律。

开尔文(William Thomson，1824—1907，英国)之所以把黑体辐射的问题称作“热和光动力理论上空的乌云”[4]，是因为已有的物理理论都只能解释黑体辐射曲线的一部分而非全部，物理学家显然不能容忍这种物理上或理论上的不完善。

按照瑞利的假设，线性谐振子是能量连续的经典体系，遵从能量均分定理。在相同的温度下，每个谐振子的平均能量均相等。而黑体空腔中的辐射场具有无穷多个自由度，因此必然会得到总能量无穷大的结果[2]。

普朗克大胆地做了一个在当时看来十分怪异的假设：黑体腔壁上的电磁振子与黑体腔中的电磁波处于平衡状态，当振子以频率ν振荡时，只能辐射某些确定值的能量nhν(n=0，1，2,…)。这种离散的量子化能级的概念与瑞利关于“振子可以具有任意大小能量”的观点截然相反。

然而，如果不同频率的振子同样有效地辐射电磁波，那么，由于高频光子的能量大，将必然导致高频辐射强度过分增大，与实验结果不符。因此，“减少(而且是大幅减少)高频光子数”就成为降低高频辐射强度的唯一途径，只有这样才能对高频段的辐射强度起到控制作用。普朗克的巧妙之处正是在提出“能量量子化”概念的同时引入了一个使高频辐射“低效”的抑制因素。换句话说，在普朗克模型中，高频振子是一种“低效光源”。

我们可以借助原子模型中不同能级上的粒子数分布规律来理解这一“抑制因素”。假设黑体空腔的温度为T，则具有能量En=nhν的振子数为[5]

Nn=Ae-n hν/kT

(10)

其中，n=0表示基态；n=1表示第一激发态。由此可得，处于第一激发态的振子数与处于基态的振子数之比为

(11)

显然，随着振子频率ν的增大，这一比例将急剧减小。举例详之。假设温度T=1000K，振子频率ν=1×1014Hz，则第一激发态的振子能量E1=hν=6.63×10-20J，处于第一激发态的振子数与处于基态的振子数之比为

.19×10-3

(12)

.98×10-13

(13)

图2 普朗克模型中同一温度下低频振子和高频振子的能级对比[5](a) 低频振子； (b) 高频振子

对比式(12)和(13)可以看出，与低频振子相比，高频振子的能量虽然增大了5倍，但是处于第一激发态的振子的相对数目却减少至大约三百亿分之一！所以高频段的总辐射能量大大减小，这正是普朗克希望达到的效果。于是，只需调整系数h至恰当的数值，即可得到与实验数据完美吻合的理论公式。

3 由普朗克公式得到的启发

决定自然现象状态或过程的因素有时单一，有时多重，所以不同的自然现象有不同的表现形式和变化规律。有的单调递增或单调递减，有的高值饱和或低值饱和，有的中间大两端小，存在极值。但有一点是肯定的：“无穷大”的物理量不可能在物理现实中出现，因此，对于理论描述中出现的无穷大表象，必须找到合适的“去无穷”机制。在解释黑体辐射时，普朗克引入“能量量子化”概念，相当于增加了一个能使单色辐出度随频率增大而迅速减小的影响因素，它抑制了辐射强度在高频段的增长，从而化解了“紫外灾难”。

黑体辐射的单色辐出度随频率变化的特点是在函数中部存在极大值，这种形式在自然科学和社会科学中很常见，如高斯分布、麦克斯韦分布、玻耳兹曼分布、人口数量对年龄的分布、考试成绩的分布等等。在此类过程中，往往存在两个作用相反的因素，其中一个因素控制着自变量的高端，其作用在自变量趋近低端时渐减；另一个因素控制着自变量的低端，其作用在自变量趋近高端时渐减。在黑体辐射实验中，这两个因素分别是光子的能量和光子的数目。频率较大时，光子能量大，但相对数目较少；频率较小时，虽然光子的相对数目较多，但每个光子的能量较小。两个因素共同作用，使得黑体辐射呈现出图1(a)所示的曲线形式，无论在高频方向还是低频方向都不会出现单色辐出度“无穷大”的情况。

将这种“双因素控制”原理推而广之，很多中间高、两端低的分布特征都可以得到合理的解释。例如，图3所示的地球电离层的电子密度随高度分布的观测数据，在大约300km高度处，电子密度出现极大值，这一现象也是“双因素控制”的结果。电离层中存在着电离和复合两种过程，决定这两种过程的主要因素是太阳辐射强度和大气密度：太阳辐射越强，中性分子原子的电离越强，导致电子数目增多、密度增大；而大气密度越大，由电子和离子碰撞导致的复合越强，引起电子数目减少、密度减小。在高空处，尽管太阳辐射很强，但大气非常稀薄，可供电离的分子原子有限，所以电子密度不会很大；到了地表附近，虽然大气稠密，可供电离的分子原子增多，但由于太阳辐射在穿过大气层时已大大减弱，因此使得电离过程有限；同时，由于低空处的大气稠密，复合过程明显，所以电子密度也不会很大。于是，在某一特定高度附近，大气中的电子密度出现极大值；而随着高度的增大或减小，电子密度均有所下降。

图3 电离层F区电子密度随高度变化的观测结果[6]

4 结语

普朗克公式巧妙地弥合了维恩公式和瑞利-金斯公式的不足，通过“能量量子化”的概念成功地引入了一个“去无穷”的机制，从而化解了“紫外灾难”。而正是这个“能量量子化”的观点，开启了量子物理学的伟大序幕，让人类在物质观上有了革命性的突破。

另外值得一提的是，由普朗克公式还可推出当时已知的关于黑体辐射的两条实验规律：对普朗克公式在全频段进行积分，即得斯特藩-玻耳兹曼定律(黑体的总辐出度与其温度的四次方成正比)；对普朗克公式的波长表述形式求导，即得维恩位移律(黑体的单色辐出度在某一特定的波长上达到极大值，此波长与黑体的温度成反比)。由此可见，普朗克公式堪称绝妙，无怪乎被评为“科学史上最伟大的公式”之一。

[1] 张三慧.大学物理学(B版，热学、光学、量子物理)[M]. 3版. 北京：清华大学出版社，2009：304.

[2] 陆果. 基础物理学[M]. 北京：高等教育出版社，1997：620-623.

[3] 维基百科https://en.wikipedia.org/wiki/Planck%27s_law.

[4] 胡化凯. 物理学史二十讲[M]. 合肥：中国科学技术大学出版社，2009：338.

[5] Young H D, Freedman R A, Ford A L. University physics with modern physics[M]. 13th Edition. San Francisco: Addison-Wesley, 2012: 1311-1312.

[6] Hargreaves J K. The upper atmosphere and solar-terrestrial relations[M]. New York： Van Nostrand Reinhold Co. 1979： 104-105.