一类变分问题在中学物理课外教学中的尝试

蔡子星

(北京质心教育科技有限公司，北京 100088)

变分法为理论力学中的欧拉-拉格朗日方程提供了基础的数学形式，是现代物理学的常用的数学工具。其理论本身因应用广泛、形式简约，被作为本科生必修内容。由于理解变分法本身并不涉及复杂的微积分运算，同时理解变分法对清晰地认知一大类问题的物理图像很有帮助，因此在中学生物理竞赛大纲添加了微积分的要求以及大学先修课不断普及的情况下，将变分内容作为对部分有特长的学有余力的中学生的补充课外教学材料引入教学实践，成了一种可能的尝试。

抛开变分问题严格的定义不谈，狭义的变分问题可以这样形象的理解(严格的数学定义可以参考文献[1])。令

其中，y(x)是定义在[x1,x2]上的可导函数；I(y)是从满足定义的函数y(x)到实数域上的映射。当y取到y(x)和其靠近的函数y(x)+δy(x)的时候，I的值变化δI相比δy是一个“高阶小量”，我们就记δI=0，表明y(x)是I的一个极值点。

一类物理问题都可以用变分进行表述，比如连续体静力平衡时势能取极值，边界固定的肥皂泡会形成面积最小形态，几何光学中光走光程极值路径，在固定的势场下一个经典粒子的真实路径会使得作用量取极值。本文就针对这个例子进行讨论，并给出解答和指出这几个模型中一些细节上的差异。在教学实践中，针对这几个问题，从建立模型，寻找对称性，寻找约束条件，类似迁移等几个方向启发学生思维。

1 建立模型和解答

问题一将一根长度为L，单位长度质量为λ的柔软的不可伸长的链条，在匀强重力场g中，两个端点分别挂在坐标为(x1,y1)和(x2,y2)的点上，求平衡时绳子的形态y(x)。

(1)

满足δI=0，y(x1)=y1;y(x2)=y2。这个问题被称为悬链线问题。在许多理论力学书上都有讨论[2]。

问题二在空间中有两个圆环，都平行于y-z平面，圆心的x坐标分别为x1，x2，半径分别为y1，y2。在两个圆环之间有一层肥皂膜，在两个圆环处开口，内外联通。求平衡时肥皂膜的形状。

这4个问题的都可以归结为解式(1)。代入欧拉-拉格朗日方程

得到

这个微分方程可以直接求解，得到

(2)

其中A,b是由初始条件确定的两个待定常数。然而实际上不同中学生对微分方程的掌握程度有所不同，通过问题四的求解可以降低对微分方程要求。对于问题四，x方向动量守恒，在y方向受力为

α2y

由牛顿第二定律

α2y

这个方程的解是熟知的，为

y(t)=Aev0α t+Be-v0α t

在x方向上x(t)=vx0t，消去时间后得到轨道方程为

通过初始条件

vx0=v0αy1cosα

其中α是初态粒子运动方向和x轴夹角，以及y′(x1)=tanα，可以将轨道方程化成式(2)的形式。这样问题一到问题四都可以通过简单的运算得到。

2 对称性的应用

问题四之所以比较简单，原因在于使用了体系在x方向上的平移不变性，即x方向动量守恒。这个对称性在式(1)中的表现在于F(x,y,y′)不显含F(x)，这样代入哈密顿方程有

(3)

(4)

F(s)-F(0)=λgds(y(0)-y(s))

(5)

对从0到s这一段绳子水平方向受力平衡得到

F(s)cosα=F(0)

(6)

对于问题二可以对从x1到x之间的那一段液体沿x方向的受力平衡得到

2×2πycosα=C

对于问题三就更加显然，连续利用折射定律得到

n(y)cosα=C

即与式(3)等效。从这些例子我们可以看出，这些对称性归根结底来源于平移不变性，训练学生发现这样的对称性也是重要的教学目的之一。

3 问题的推广和约束条件的影响

如果仔细考虑这4个问题，可以发现问题一实际上和其他3个问题不同，因为在第一个问题中有约束条件绳长不变

和原来的方程相比只需要让y变成y+λ就得到解，也就是只是在y方向平移，对求解过程没有太大影响。

θ

对应的哈密顿方程为

整理得到

于是轨迹方程为ρ=Ae±κ θ，其中A,κ是由初始条件确定的常数。然而这个解对问题一是无效的。例如拉格朗日乘子法得到

整理得到

解得

作为对学生的训练，一方面可以启发学生从平移不变性推广到旋转不变性，对问题一使用虚功原理和力矩平衡得到方程，对问题三利用正弦定理和折射定律得到方程，对问题四用角动量守恒加比奈方程得到方程。另一方面可以启发学生看到约束条件对结果的影响。

4 结语

上面我们研究了力学、光学中的4个有趣的问题。这些貌似无关的问题，经由变分原理可以统一起来。我们从问题的建模，对称性分析和约束条件的引入3个层面展示了变分原理在这些问题中的应用。内容上我们还设置了启发引导的环节，这样可以更好的提高学生的分析和思维能力。相信将这一物理学中的简单而深刻的原理通过有趣的实例介绍给中学生，可以让学生更早的接触一些物理思维方面的高级内容，同时这一原理的美妙和威力也会给学生留下深刻印象，从而激发学生学习的兴趣和钻研精神。

[1] 老大中.变分法基础[M]. 3版.北京：国防工业出版社，2015.

[2] 金尚年，马永利.理论力学[M].2版.北京：高等教育出版社，2002.

[3] 玻恩M，沃耳夫E.光学原理[M].7版.杨葭荪,等,译.北京：电子工业出版社，2009.