网络阻值计算的一个递推关系

薛一鸣 赵宇先 谢 斌 陈奎孚

(中国农业大学 1信息与电气工程学院， 2工学院， 3理学院，北京 100083)

电阻计算是电路分析的基本任务。简单电路可以使用串联或并联来分析。不能用串并联分析的电路也很常见，比如不平衡电桥，此时常用Y-Δ变换进行分析。本文将给出复杂电路分析的一个递推关系。基于此关系，任何复杂的电路都可以逐步删除选定电阻，使得电路简化成简单电路。新递推关系每操作一次，电阻就会少一个, 而现有的Y-Δ变换，电阻数目在变换前后不会减少。此外，所给的递推关系简洁，容易记忆。

1 新递推关系的运用

图1为电阻网络示意图，R是其中任一电阻。本文第2节将证明从网络端口看到的整个网络RN可按下式计算：

(1)

图1 电阻网络示意图

其中：R短是把R短路后的网络电阻；R正是把R断路后，从网络端口观察到的电阻；R反是把R断路后，从两个断线端口观察到的电阻。

1.1 电桥

图2(a)所示的电桥是经常使用的电路，5个电阻之间关系并非简单的串并联。通常的做法是用Δ-Y变换。下面采用式(1)分析。

选择R5作为式(1)的R。

R5断路后(图2(b))，从网络端口看：R1与R2串联，R4与R3串联；两组串联后再并联，因此

R正=(R1+R2)//(R3+R4)

(2)

式中，“+”表示串联；“//”表示并联(“//” 比“+”优先,下同)。

从R5端口看(网络的端口开路)：R1与R3串联，R4与R2串联；两组串联后再并联，因此

R反=(R1+R3)//(R2+R4)

(3)

R5短路后(图2(c)),R1与R3并联，R4与R2并联；两组并联后再串联，因此

R短=R1//R3+R2//R4

(4)

给定具体数值，可以计算出式(2)、式(3)和式(4)的3个数值，再代入式(1)即可得到最终的RN。代数上，把式(2)、式(3)和式(4)的表达式代入式(1)，整理可得如下的电桥电阻随各电阻变化的函数式

(5)

此式与文献[1]中式(5)的最终结果相同。

1.2 门形网络

图3所示为门形电阻网络，分析该电路的等效电阻RAB。

(6)

(7)

图 2

图4(c)的反向电路与正向电路结构对称，则

(8)

将式(6)、式(7)和式(8)代入式(1)后整理可得RAB的代数式，但过于冗长，不再给出。作为验

图3 门形电阻网络

图 4

证，取R1=30Ω,R2=60Ω,R3=20Ω,R4=40Ω,R5=70Ω,R6=65Ω,R7=80Ω,R8=80Ω,R9=90Ω,R9=10Ω，可得RN=100/3Ω,与文献[2]利用平衡电桥特殊性所得结果相同。

1.3 田字形电阻

文献[3]讨论了图5所示的田字形电阻网络，图中各边电阻分别为R12，R23,R34,……(右角标为相邻两个结点的标号)。

作为新递推式的示例，本文只分析2和5两个端口的等效电阻。2和5两个端口之间有R25电阻，去掉该电阻后的新网络在2和5两个端口间当然也有一个等效电阻R′。显然R25与R′之间是并联关系。因此最为关键的是求图6(a)所示的2和5两个端口之间的电阻R′。

将R58短路(图6(b))和断路(图6(c))。

图6(b)的电阻(从2和5端口看)

(9)

图6(c)的正向电阻(从2和5端口看)

(10)

图6(c)的反向电阻(从5和8端口看)

(11)

(12)

最后RN=R25//R′

(13)

本节的电桥例子使用了一次递推，门形网络和田字形电阻的两个例子本来需要两次递推，但是它们都使用了电桥计算式，因而只递推了一次。因为每递推一次，电阻就减少一个，故只要网络电阻数目有限，就最终能把任意复杂的电路递推到不含“非串非并”的情形。

2 新递推式证明

不管电阻网络有多么复杂，它都是由一个个分立的电阻用导线连接而成。网络对外有两个端线，如图1所示。两条端线上电流数值相等(满足电流守恒)，即如图中I。两个线端的电位差为U。电阻网络的等效电阻可由下式计算

RN=U/I

(14)

为了凸显R的作用，把图1改成图7(a)的形式。图中，IR为通过R的电流，而UR为R两端的电压。

图 7

将R断路，与R相连的两条断线组成一个端口，该端口与网络端口之间的电路构成二端口网络，如图7(b)所示。因为电路中只有符合欧姆定律的电阻，所以此二端口为无源线性网络。

对图7(b)的二端网络有如下传递关系

(15)

其中T11,T12,T21,T22为网络传递系数，它们均与R无关。

图5 田字形电阻网络

图 6

如果将图7(a)的R断路(图7(b))，则等价于式(15)中I′=0。记网络端口的电流和电压分别为I断和U断，则式(15)第一式为

0=T11I断+T12U断

显然U断/I断即为从网络端口观察到R断路下的网络电阻，即R正。因此

R正=U断/I断=-T11/T12

(16)

(17)

如果图7(a)的R短路(图7(c))，则等价于式(15)中U′=0。记网络端口的电流和电压分别为I短和U短，则式(15)第二式为

0=T21I短+T22U短

显然U短/I短即为从网络端口观察到R短路下的网络电阻，即R短。因此

R短=U短/I短=-T21/T22

(18)

以上讨论了3种特殊情形。对R取任意值的情形图7(a)有

(19)

对其求逆得到

(20)

因而网络电阻RN

(21)

把欧姆定律UR=IRR关系代入上式有

(22)

进一步整理有

(23)

将式(16)，(17)和(18)代入上式，即得到式(1)。

因为在推导式(1)过程中对图7中的二端口网络没有限制，所示式(1)适用于任何线性电路。不管电路是否对称，是否具有互易性，式(1)都是正确的。

对交流情形，只要把上述的所有电阻换成阻抗，式(1)也适用于网络阻抗的计算。

3 结语

本文利用二端口网络的传递关系，导出一递推关系，该递推关系使用3个缩减网络的电阻，即让选定电阻短路的网络电阻，从选定电阻两端观察到的电阻，以及选定电阻断路的网络电阻。

每使用一次递推关系，缩减网络的电阻数就少一个。然而，传统的Y-Δ变换不会减少电阻个数。反复使用上述递推关系，最终可把复杂网络一步一步地分解为能用串并联分析的简单网络。

不管是Y-Δ变换，还是基于本文所给出的递推关系，对于较复杂的电路，手工分析的工作量还是比较大，也很难用计算机程序化分析。未来应该探索能够程序化的电路分析方法。

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