一种用三线摆测量重力加速度的方法探讨

董 科 高 红 朱 峰 罗观洲 李 华

(北京航空航天大学 1能源与动力工程学院； 2物理科学与核能工程学院； 3计算机学院，北京 100191)

重力加速度在科学研究和日常生活中有着重要的意义，比如洲际弹道导弹轨道的设计，地下矿物资源的勘探，海洋洋流的分析等等都离不开对地球重力场的测量和分析[1]。同时，重力加速度作为最重要的力学量之一，在大学物理教学中占有重要的地位。目前相关研究采用了多管落球法[2]，落球弹跳法[3]，阿基米德定律排水法[4]等实验方法来完成对重力加速度的测量。它们虽然扩展了学生的实验思路，但是实验原理推导复杂，操作过程繁琐。

本文结合实验室常见的三线摆和生活中普通的智能手机，对重力加速度的测量进行了探讨。它基于转动惯量平行轴定理推导了重力加速度测量公式，同时利用手机传感器和滤波算法测量得到公式所需的转动周期，最后通过数据拟合计算得到当地重力加速度。

1 实验原理

两个半径分别为R和r(R>r)的刚性圆盘，用对称分布的3条等长的无弹性的，质量可忽略的细线相连，上盘固定，则构成一振动系统，称为三线摆，如图1所示。上盘固定，下盘可以绕中心轴OO′转动。若调节三线摆使上下盘都处于水平状态，当摆角θ0很小，悬线长度l远大于R，忽略空气阻力和悬线扭力时,可以证明物体绕中心轴OO′转动惯量I0为[5]

(1)

式中，m0为下盘质量；R为下盘悬点距中心转轴距离；r为上盘悬点距中心转轴距离；T0为转动周期；H为上下盘垂直距离。

图1 三线摆示意图

若将两个相同的圆柱砝码(m)对称地放置在下盘上，保持中心转轴OO′不变，则此时转动惯量变为

(2)

同时，由转动惯量平行轴定理知：

I-I0=2mx2

(3)

式中,x为圆柱砝码距中心转轴OO′距离.

联立式(1)、(2)、(3)有：

(4)

由此式知，T2与x2成正比关系。在具体实验中，改变圆柱砝码离中心转轴OO′的距离x，保持其他参数不变，测量转动周期T，利用最小二乘法算出直线斜率b后就能算出当地重力加速度g[6]。

智能手机中为了完成姿态解算，自动转屏等功能，内嵌有三轴加速度传感器，能够测量随体坐标系x,y,z3个方向的加速度，如图2所示。一般智能手机采样频率可以达到50Hz，精度为0.001m/s2[7]。当把手机如图3水平放置时，手机x轴方向的加速度ax就反映了下盘的转动加速度。

图2 智能手机随体坐标系

图3 智能手机放置示意图

理论上，三线摆周期性转动时，加速度呈余弦规律变化，通过测量加速度的周期便能够获得转动周期T。但相关学者研究表明，实际情况中下盘的运动为水平振动和圆振动耦合的拍现象[8]。实际测量中加速度数据点及拟合曲线如图4所示，为一振幅周期性变化的余弦曲线，与研究结果相符。

图4 下盘加速度数据及拟合曲线

若直接对加速度数据进行拟合处理来得到转动周期，计算量大，精度低，并且难以在手机上实现。考虑到余弦曲线经过同一高度时的相邻两点的时间间隔即为周期，本文采用特定高度去截取数据点，计算对应数据点之间的时间间隔，求取平均值后即为周期[9]。基于这一思想，本文实现了对应的滤波算法与程序，特定高度取为前20%大的加速度值的平均值。

2 实验装置与实验内容

实验装置如图5所示，由三线摆，砝码，智能手机组成。为了比较手机的周期测量精度，还加入了数字毫秒计时器。智能手机中写入了实验专用的程序，实现了数据输入，周期采集，结果计算一体化的功能。具体实验步骤如下：

(2) 利用水平仪调整下盘姿态，放置智能手机，调试数字毫秒计时器。

(3) 分别改变砝码距中心转轴距离x为60mm,80mm,100mm,轻转下盘，启动测量。

(4)计算实验结果，分析误差。

图5 实验装置

图6 实验方案流程示意图

表1 相关实验参数

表2 周期和重力加速度的测量

3 实验结果与讨论

相关的实验参数，总质量m0，圆柱砝码质量m，上悬点距离Lup，下悬点距离Ldown，上下盘距离H，分别由表1列出。周期和加速度的测量结果见表2。

由公式(4)可以推导得不确定度计算公式：

(5)

代入相关数据计算可得，智能手机不确定度Ug=0.05，计数器不确定度Ug=0.06，则最终测量结果表述为

智能手机：g±Ug=(9.84±0.05)m/s2

计数器：g±Ug=(9.73±0.06)m/s2

由三线摆简弦运动近似条件可知，当上下盘距离H减小时，测量误差将会上升[11，12]。同时，在放置智能手机时，很难使手机质心与转轴OO′完全重合。因此，本文探究了上下盘距离H和手机偏心距离x对测量结果的影响，实验结果如表3,4所示。

表3 不同H下重力加速度的测量结果

表4 不同x下重力加速度的测量结果

通过分析表3和表4可以看出，当高度H减小，偏心距x增大时，智能手机和计时器的测量误差都有所上升，相对误差在2%～3%之间。高度H对两者影响程度相同，而偏心距x对智能手机影响更大。这可能是由于偏心距过大时，影响了下盘的质量分布，中心转轴不再与OO′重合，但误差仍然在可接受的范围内。

4 结论

本文结合实验室里常见的三线摆装置和生活中常见的智能手机，提出了基于转动惯量平行轴定理的重力加速度实验测量方法。通过智能手机的引入，实现了数据输入，周期采集，结果计算三位一体的功能。并且经过实验测量检验，该方法具有较高的测量精度。该方法物理原理简单易懂，实验操作更为简洁，降低了对于实验器材的要求，能够让学生直接抓住物理实验背后的物理本质，它更能激发学生探究物理现象和掌握物理实验方法的热情。

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