一元二次方程应用题的几类经典题型

2018-01-24 13:56李志若
考试周刊 2018年16期
关键词:增长率应用题利润

摘要:列一元二次方程解应用题的关键是:弄清已知量与未知量,分清它们之间的数量关系,从而将实际问题转化为方程模型,本文举例说明列一元二次方程解应用题的几类常见的典型题目。

关键词:应用题;增长率;利润;探索;数字问题

列一元二次方程解应用题是中考的重点内容,也是进一步学习二次函数的基础,要认真地审清题意,弄清已知量与未知量,分清它们之间的数量关系,寻求隐含的相等关系。假设未知数分直接假设和间接假设,应根据题目中的数量关系正确设出未知数。现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见几类的典型题目,举例说明。

一、 增长率问题

【例1】为了进一步发展水利工程,服务农业,自2015年以来,某乡镇加大了水利工程经费的投入,2015年经费6000万元,2017年水利工程经费8640万元。假定该镇这两年投入水利工程经费的年平均增长率相同。

(1)求这两年投入水利工程经费的年平均增长率;

(2)如果该镇水利工程经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算2018年该镇投入水利工程经费多少万元?

解:(1)设這两年投入水利工程经费的年平均增长率为x,由题意得

6000(1+x)2=8640,解得x1=0.2,x2=-2.2(舍去)。

答:该这两年投入水利工程经费的年平均增长率为20%;

(2)8640×(1+0.2)=10368(万元),

答:2018年该镇投入水利工程经费10368万元。

二、 商品的利润问题

【例2】某商场准备进一批服装,单价40元。经市场预测,销售定价为52元时,可售出180件,定价每增加1元,销售量净减少10件;定价每减少1元,销售量净增加10件。因受库存的影响,每批次进货件数不得超过180件,商场若想获利2000元,则应进货多少件?定价为多少元?

解:设每件商品的定价是x元,由题意得(x-40)[180-10(x-52)]=2000,整理得x2-110x+3000=0,解得x1=50,x2=60。当x=50时,进货件数为180-10×(50-52)=200>180,不符合题意,舍去;当x=60时,进货件数为180-10×(60-52)=100<180,符合题意。

答:当该服装每件定价为60元时,进货100件,可获利2000元。

三、 列一元二次方程解决与几何图形有关的问题

【例3】如图,某小区有一块长40m、宽32m的长方形地块要种植花圃,准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路,要使种植面积为1140m2,求小路的宽。

解:设小路的宽为xm,依题意有

(40-x)(32-x)=1140,

整理,得x2-72x+140=0。

解得x1=2,x2=70(不合题意,舍去)。

答:小路的宽应是2m。

说明:本题考查了一元二次方程的应用,应熟记长方形的面积公式。另外求出4块种植地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键。

四、 探索存在问题

【例4】将一条长为20m的围栏分成两段,并以每一段围栏的长度为周长做成一个正方形。

(1)要使这两个正方形的面积之和等于13m2,那么这段围栏剪成两段后的长度分别是多少?

(2)两个正方形的面积之和可能等于11cm2吗?若能,求出两段围栏的长度;若不能,请说明理由。

解:(1)设剪成两段后其中一段为xm,则另一段为(20-x)m。

则根据题意,得x42+20-x42=13,解得x1=12,x2=8,

当x=12时,20-x=8,当x=8时,20-x=12,

答:这段围栏剪成两段后的长度分别是8m和12m。

(2)不能。理由是:不妨设剪成两段后其中一段为ym,则另一段为(20-y)m。则由题意得y42+20-y42=11,整理,得y2-20y+112=0,移项并配方,得(y-10)2=-12<0,所以此方程无解,即不能剪成两段使得面积和为 11m2。

五、 数字问题

【例5】有一个两位数,它的个位数字与十位数字的和是8。把这个两位数的个位数字与十位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为1612。求新的两位数。

解:设新的两位数的个位数字为x,则十位数字为8-x。

依题意得:(10x+8-x)[10(8-x)+x]=1612,

解得 x1=2,x2=6,

当x=2时,8-x=6,新的两位数是62;当x=6时,8-x=2,新的两位数是26。

答:新的两位数是26或62。

综上所述,列一元二次方程解应用题要认真审题,关键是找出等量关系,可以通过关键词语寻找,也可以通过学过的公式、规律寻找;要归纳解决实际问题的一般歩骤,体会方程的建模思想、数形结合思想的运用;求出未知数的值后,要注意检验求出的未知数的值是否符合实际意义。

作者简介:

李志若,福建省泉州市,泉州师范学院附属鹏峰中学。endprint

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