一种着陆视觉导航P3P问题的解法

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(北京自动化控制设备研究所，北京 100074)

0 引言

PnP(Perspective-n-Point)问题是1981年首先由Fischler和Bolles[1]提出的，即给定n个空间点与图像点之间的对应关系，确定物体坐标系与摄像机坐标系的刚体变换关系[2]。该问题主要被用来决定摄像机与目标物体之间的相对距离和姿态。近年来又在图像分析和自动制图学、计算机视觉、机器视觉与机器人学及摄影测量学等领域中广受关注的摄像机定位问题中重新提出[3-5]。

Fishler和Bolles在文献[1]中指出，要获得一个封闭形式的解，最少需要3个控制点，因而提出了P3P(Perspective-3-Point)问题，并指出P3P问题最多有4个解，且解的上界是可以达到的。周鑫等证明了当3个特征点为等腰三角形，且特征点与摄像机间满足某些约束条件时，P3P问题具有唯一解[3,6]。

无人机等飞行器着陆过程中，机场跑道左边线、右边线、起始线在机载成像装置中将成像为一个三角形，在跑道标定信息、成像设备焦距等参数已知的情况下，由该三角形可唯一确定机场跑道与摄像机之间的相对位置与相对姿态，即确定该具体应用中P3P问题的唯一解。本文从物像共轭关系出发，提出了一种确定着陆导航P3P问题唯一解的方法。与传统求解方法不同，该方法没有直接根据点与点之间的对应关系，而是间接从线与线之间的共轭关系入手确定摄像机运动参数。

1 坐标系及其转换

1.1 坐标系及其旋转变换

1.1.1 坐标系定义

本文主要涉及世界坐标系、摄像机坐标系、图像坐标系[7,8]，如图1所示，其中跑道的半长为L，跑道的半宽为l。

图1 着陆导航坐标系Fig.1 Landing navigation coordinates

世界坐标系(w系)：以跑道中心线的中心为原点ow；xw轴平行于跑道起始线，右向为正；yw轴沿跑道中心线，向后为正；zw轴垂直于跑道平面，向下为正；owxwywzw构成右手坐标系。

摄像机坐标系(c系)：以光学系统的像方主点为原点oc；当正对光学系统观察时，xc轴平行于成像平面坐标系的横轴，左向为正；yc轴平行于成像平面坐标系的纵轴，下向为正；zc轴指向观察者，并与xc轴和yc轴构成右手坐标系。

图像坐标系(i系)：建立在摄像机光敏面所在平面内的一个二维平面坐标系，以图像左上角为原点，沿图像水平方向向右为图像坐标系的c轴，沿图像垂直方向向下为图像坐标系的r轴，图像坐标系的单位是像素。

1.1.2 坐标系旋转变换原理

本文涉及坐标系旋转变换，为了便于后文描述，简要介绍坐标系旋转变换的基本方法如下。

设(x,y,z)为原坐标系下的坐标，(x′,y′,z′)为坐标系绕某轴旋转θ角之后的坐标[9-10]，则

(1)

其中，坐标系分别绕X轴、Y轴、Z轴旋转的坐标变换基为

(2)

1.2 视觉相对姿态角定义

视觉相对姿态角(简称相对姿态角)由相对滚动角γr，相对航向角ψr，相对俯仰角θr组成，描述了世界坐标系w与摄像机坐标系c之间的转换关系。相对姿态角(γr，ψr，θr)的定义如下：

相对航向角ψr：以yc轴射向观察者，绕该轴逆时针旋转为正方向，范围(-180°,+180°]；

相对俯仰角θr：以xc轴射向观察者，绕该轴逆时针旋转为正方向，范围[-90°，+90°]；

相对滚动角γr：以zc轴射向观察者，绕该轴逆时针旋转为正方向，范围(-180°,+180°]。

则世界坐标系w可由摄像机坐标系c按Z⟹Y⟹X的旋转顺序，分别旋转-γr⟹-ψr⟹(-π/2-θr)而得，由此可得c系到w系的转换关系为[11]

(3)

2 成像特性分析

当飞行器降落过程中，跑道在前下视成像设备中将成像为一个三角形，如图2所示。其中跑道起始线ls与左边线ll相交于点A，跑道起始线ls与右边线lr相交于点B，左右边线的延长线相交于点C。在世界坐标系中，AB两点的地理定位是显而易见的，而C点位于跑道中心线上无穷远处，因此可将P3P问题由点对点转化成线对线，下面分别从图像坐标系与世界坐标系中对三条特征边线进行描述。

图2 跑道成像特性分析Fig.2 Characteristics of the runway imaging

2.1 图像坐标系下的跑道边线

跑道左边线ll、跑道右边线lr、跑道起始线ls在图像坐标系中的方程可描述为

r+kic+qi=0 (i=l，r，s)

(4)

其中，r与c分别为像素点在图像坐标系中行与列坐标值，ki与qi分别为直线方程的斜率与截距，(l,r,s)分别代表跑道左边线、右边线、起始线，写成矩阵的形式即

(5)

2.2 世界坐标系下的跑道边线

(6)

其中：

(7)

(8)

在式(4)两边同时左乘1×3矩阵[1kiqi]，并令

(9)

可得

(10)

(11)

即

(12)

代入式(9)，可得

(13)

(14)

代入式(9)，可得

(15)

3 相对姿态求解

通过机场跑道特征提取，得到跑道左边线ll、跑道右边线lr、跑道起始线ls三条直线，世界坐标系与摄像机坐标系之间的3个相对姿态角的求解以此三条直线为依据，其求解方法如下。

相对滚动角γr：机场与飞行器之间的相对滚动在成像时将反映在跑道起始线ls的斜率上，因此可通过对该直线的斜率求反正切的方式求得。

γr=arctan(ks)

(16)

相对航向角ψr：两条跑道线的交点为C，机场与飞行器之间的相对航向在成像时将反映在C点与图像中心点的水平偏差Δc(单位：像素)上。在相对姿态角定义时，是右航为正的，右航时C点偏左，Δc为负值。因此

(17)

相对俯仰角θr：机场与飞行器之间的相对俯仰在成像时将反映在C点与图像中心点的垂直偏差Δr(单位：像素)上，因此

(18)

4 相对位置求解

将左跑道边线方程xw=-l与右跑道边线方程xw=l代入式(13)，整理得

(19)

将跑道起始线的方程yw=L代入式(15)，整理得

(20)

根据式(6)，可以获得飞行器与机场之间的相对位置

(21)

5 结论

本文对飞行器着陆过程中机载成像设备的成像特性进行了分析，将此过程中飞行器与跑道之间相对位置姿态的求解问题抽象为P3P问题，并结合着陆过程特点提出了一种P3P问题唯一解的求解方法。该方法从物像的共轭关系出发，提出了先进行相对姿态求解再进行相对位置求解的策略。可以看出，在相对姿态明确的基础上，通过跑道左右边线可以唯一确定飞行器与跑道之间的侧向、垂向偏移，通过跑道的起始线可唯一确定飞行器与跑道之间的径向偏移。由于飞行器一般都配备有惯性导航设备，因此可将其与机载成像设备组成惯性/视觉组合导航系统，在跑道事先标定的基础上，由惯性导航设备提供相对姿态辅助视觉导航；与此同时视觉导航提供相对位置修正惯导误差，形成相互修正的惯性/视觉深度组合机制。

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