同体积长方体棱长及表面积变化规律

2018-02-03 17:25刘代云
数学学习与研究 2018年1期
关键词:棱长总和式子

刘代云

在小学数学中,时常会遇到判断同体积长方体表面积大小的问题.例如,用12个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体拼成一个表面积最小的长方体,拼得的这个长方体表面积是多少?解答这一问题的关键在于搞清楚当长方体体积一定时,其表面积随棱长变化的规律.否则,就很容易误认为只要遮住最大的面,表面积就最小,于是得出:新长方体长5厘米、宽4厘米、高3厘米×12=36厘米;表面积(5×4+4×36+36×5)×2=688(平方厘米).

粗略一看,这好像没什么问题,但事实并非如此!要使拼得的长方体表面积最小,只考虑被遮住的面大还不行,必须同时考虑被遮住的面要尽量多.这样,问题就变得复杂起来,而且用于拼组的长方体个数越多情况就越复杂.倘若学生没有这方面的知识和经验,解决此类问题是非常难的.那么,我们应该如何去引导学生,使其知道所拼长方体表面积随棱长变化的规律,从而让该问题化难为易呢?现就此问题探讨如下.

假设某长方体体积为a3,则其长、宽、高与棱长总和及表面积将分别有以下几种不同情况.

因为体积a3是一定的,4a及2a2为定值,所以影响长方体棱长总和及表面积大小的关键在于“n+k+1nk,nk+1n+1k,n+1n+1,2n+1n2,n2+2n”这5个式子的值的大小.不难看出,这5个关键式子的值是随n值与k值的变化而变化的.那么,n与k的值又是怎样影响其大小的呢?

假设,当n与k各自分别增加p和s(p>0,s>0),则以上5种情形下影响长方体棱长总和及表面积大小的5个关键式子的值与原来相比,所起变化分别如下.

(1)在n+k+1nk中,

(n+p)+(k+s)+1(n+p)(k+s)-n+k+1nk

=(n+p)+(k+s)-(n+k)+1(n+p)(k+s)-1nk

=(p+s)-1nk-1(n+p)(k+s)

=(p+s)-(n+p)(k+s)-nknk(n+p)(k+s)

=(p+s)-nk+pk+ns+ps-nknk(n+p)(k+s)

=(p+s)-pk+ns+psnk(n+p)(k+s)

=(p+s)-pknk(n+p)(k+s)+s(n+p)nk(n+p)(k+s)

=(p+s)-pn(n+p)(k+s)+snk(k+s)

>0.

這表明:随着n值与k值的增加,n+k+1nk的值也在增加.

(2)在nk+1n+1k中,

(n+p)(k+s)+1n+p+1k+s-nk+1n+1k

=(n+p)(k+s)-nk+1n+p+1k+s-1n-1k

=nk+pk+ns+ps-nk-1n-1n+p+1k-1k+s

=pk+ns+ps-n+p-nn(n+p)+k+s-kk(k+s)

=pk+ns+ps-pn(n+p)+sk(k+s)

>0.

这表明:随着n值与k值的增加,nk+1n+1k的值也在增加.

(3)在n+1n+1中,

(n+p)+1n+p+1-n+1n+1

=(n+p)+1n+p-n+1n

=n+p-n+1n+p-1n

=p-1n-1n+p

=p-n+p-nn(n+p)

=p-pn(n+p)

>0.

这表明:随着n值的增加,n+1n+1的值还是一样在增加.

(4)在2n+1n2中,

2(n+p)+1(n+p)2-2n+1n2

=2n+2p-2n+1(n+p)2-1n2

=2p-1n2-1(n+p)2

=2p-(n+p)2-n2n2(n+p)2

=2p-2np+p2n2(n+p)2

=2p-2n+pn2(n+p)2×p

=2p-nn2(n+p)2+n+pn2(n+p)2×p

=2p-1n(n+p)2+1n2(n+p)×p

>0.

这表明:随着n值的增加,2n+1n2的值照样在不断增加.

(5)在n2+2n中,

(n+p)2+2n+p-n2+2n

=(n+p)2-n2+2n+p-2n

=2np+p2-2n-2n+p

=2np+p2-2n+2p-2nn(n+p)

=2np+p2-2pn(n+p)

>0.

这表明:随着n值的增加,n2+2n的值仍然在不断增加.

综上所述,随着n值与k值的增加,影响长方体棱长总和及表面积大小的那5个关键式子的值都会越来越大;反之,便都会越来越小.而n与k的值越小就代表其形状越接近正方体.这就是说,当长方体体积一定时,其形状越接近正方体,它的棱长总和与表面积就越小.至此,本文开头所述题目即可解答如下.

分析 因所拼长方体的体积是原长方体体积的12倍,所以新长方体的长、宽、高分别相当于原长方体的长、宽、高各扩大了12的因数倍.又由于原长方体长、宽、高本身很接近,故,12应该是三个比较接近的因数的积.

解答 ① 求所拼长方体的长、宽、高.

12=2×2×3.

长:5厘米×2=10厘米;

宽:4厘米×2=8厘米;

高:3厘米×3=9厘米.

因为新长方体的长、宽、高要尽量接近,所以12的较小的因数应该与原长方体较长的棱长相乘;较大的因数应该与原长方体较短的棱长相乘.

② 求所拼长方体的表面积.

(10×8+8×9+9×10)×2

=(80+72+90)×2

=242×2

=484(cm2).

答:所得到的这个长方体的表面积是484 cm2.

这里还有一个关键,就是必须明白12不一定就是2,2,3这三个因数的积.譬如,若原题变为“用12个长10厘米、宽6厘米、高1厘米的长方体拼成一个表面积最小的长方体,得到的这个长方体的表面积是多少?”

这样,原长方体长、宽、高本身不是很接近,为了让新长方体的长、宽、高尽量接近,12就不应该是2,2,3这三个因数的积了,必须做相应的调整.具体解答如下.

① 求所拼长方体的长、宽、高.

12=1×2×6.

长:10厘米×1=10厘米;

宽:6厘米×2=12厘米;

高:1厘米×6=6厘米.

② 求所拼长方体的表面积.

(10×12+12×6+6×10)×2

=(120+72+60)×2

=252×2

=504(cm2).

答:所得到的这个长方体的表面积是504 cm2.

注意:长方体体积一定时,其形状越接近正方体,棱长总和与表面积越小,这并不意味着棱长总和越小,表面积就一定会越小.例如,甲、乙两长方体长、宽、高分别是12厘米、10厘米、1厘米和20厘米、3厘米、2厘米.其棱长总和是甲小乙大,而表面积则是甲大乙小.endprint

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