几类三角函数有理式不定积分的求法

2018-02-14 04:03谭香
数学学习与研究 2018年24期
关键词:不定积分三角函数

谭香

【摘要】 三角函数有理式不定积分的计算是高等数学的重点与难点,本文主要将几种常见的三角函数有理式的不定积分进行了分类,针对每种类型总结出了具体的计算方法.

【关键词】 三角函数;不定积分;凑微分法;分部积分法

由u(x),v(x)及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于u(x),v(x)的有理式,并用R(u(x),v(x))表示.∫R(cosx,sinx)dx是三角函数有理式的不定积分,解决这类问题,比较常用的方法是通过万能公式代换,将其转化为有理函数的积分,但有时计算非常烦琐.本文主要将几种常见的三角函数有理式的不定积分进行了分类,针对每种类型总结出了具体的计算方法.

一、不定积分∫fn(x)dx的计算方法(其中f(x)为三角函数,n∈ Z ,n≥2)

(一)f(x)=sinx或f(x)=cosx

一般来说,对于不定积分∫sinnxdx和∫cosnxdx,若n为奇数时,则可将奇数次幂因子拿出一个与dx凑微分,然后积分.若n为偶数时,则可先利用倍角公式降幂,然后再进行计算,或者利用分部积分法降低f(x)的次数,求得递推公式,然后利用递推公式,求出∫fn(x)dx.

例1   求∫sin4xdx.

解  法一:∫sin4xdx=∫  1-cos2x 2  2dx

=∫ 1+cos22x-2cos2x 4 dx= x-sin2x 4 +∫ 1+cos4x 8 dx

= 3x 8 - sin2x 4 + sin4x 32 +c;

法二:∫sin4xdx=-∫sin3xdcosx

=-sin3xcosx+3∫sin2xcos2xdx

=-sin3xcosx+3∫sin2x(1-sin2x)dx

=-sin3xcosx+3∫sin2xdx-3∫sin4xdx

=-sin3xcosx+3  x 2 - sin2x 4  -3∫sin4xdx.

从而可得∫sin4xdx= -sin3xcosx 4 + 3 8 x- 3 16 sin2x+c.

例2   求∫cos3xdx.

解  ∫cos3xdx=∫cos2xd(sinx)=∫(1-sin2x)d(sinx)

=sinx- sin3x 3 +c.

(二)f(x)=tanx或f(x)=cotx

对于不定积分∫tannxdx(或∫cotnxdx),可将二次幂因子tan2x(或cot2x)替换为sec2x-1(或csc2x-1),然后拆项,一部分凑微分,另一部分降低f(x)的次数进行计算.

例3   求∫tan4xdx.

解  ∫tan4xdx=∫tan2x(sec2x-1)dx

=∫tan2xsec2xdx-∫tan2xdx

=∫tan2xd(tanx)-∫(sec2x-1)dx

= tan3x 3 -tanx+x+c.

例4   求∫cot5xdx.

解  ∫cot5xdx=∫cot3x(csc2x-1)dx

=∫cot3xcsc2xdx-∫cot3xdx

=-∫cot3xd(cotx)-∫cotx(csc2x-1)dx

=- cot4x 4 +∫cotxd(cotx)+∫cotxdx

=- cot4x 4 + cot2x 2 +ln| sinx|+c.

(三)f(x)=secx或f(x)=cscx

对于不定积分∫secnxdx(或∫cscnxdx),若n为偶数时,可将二次幂因子sec2x(或csc2x)拿出一个与dx凑微分,然后积分.若n为奇数时,则可利用分部积分法降低f(x)的次数,求得递推公式,然后利用递推公式,求出∫fn(x)dx.

例5   求∫csc4xdx.

解  ∫csc4xdx=-∫csc2xdcotx=-∫(1+cot2x)dcotx

=-cotx- cot3x 3 +c.

例6   求∫sec3xdx.

解  首先∫secxdx=ln|secx+tanx|+c;

∫sec3xdx=∫secxdtanx=secxtanx-∫secxtan2xdx

=secxtanx-∫secx(sec2x-1)dx

=secxtanx-∫sec3xdx+∫secxdx

=secxtanx-∫sec3xdx+ln|secx+tanx|.

從而可得∫sec3xdx= secxtanx+ln|secx+tanx| 2 +c.

二、不定积分∫sinmxcosnxdx的计算方法(m,n∈ Z +)

一般说来,对于不定积分∫sinmxcosnxdx,若m和n至少有一个为奇数时,则可将奇数次幂因子拿出一个与dx凑微分,然后积分.若m和n均为偶数时,则可先利用倍角公式降幂,然后再进行计算.

例7   求∫sin2xcos5xdx.

解  ∫sin2xcos5xdx=∫sin2xcos4xd(sinx)

=∫sin2x(1-sin2x)2d(sinx)

=∫sin2x(1-2sin2x+sin4x)d(sinx)

=∫(sin2x-2sin4x+sin6x)dx

= sin3x 3 - 2sin5x 5 + sin7x 7 +c.

例8   求∫sin2xcos2xdx.

解  ∫sin2xcos2xdx=∫  1-cos2x 2    1+cos2x 2  dx

=∫ 1-cos22x 4 dx=∫ sin22x 4 dx

=∫ 1-cos4x 8 dx= x 8 - sin4x 32 +c.

三、不定积分∫ sinmx cosnx dx的计算方法(m,n∈ Z +)

对于不定积分∫ sinmx cosnx dx,若m为奇数时,则可将分子拿出一个sinx与dx凑微分,然后进行计算.若m为偶数时,则可将分子写为cosx的函数,然后再根据本文第一部分∫fn(x)dx的计算方法进行计算.

例9   求∫ sin3x cos5x dx.

解  ∫ sin3x cos5x dx=∫ (cos2x-1) cos5x d(cosx)

=∫(cos -3 x-cos -5 x)d(cosx)=- 1 2cos2x + 1 4cos4x +c.

例10   求∫ sin4x cos3x dx.

解  ∫ sin4x cos3x dx=∫ (1-cos2x)2 cos3x dx

=∫ 1-2cos2x+cos4x cos3x dx=∫(sec3x-2secx+cosx)dx

= secxtanx+ln|secx+tanx| 2 -2ln|secx+tanx|+sinx+c

= secxtanx-3ln|secx+tanx| 2 +sinx+c.

同理,不定积分∫ cosmx sinnx dx,∫tanmxsecnxdx等也可用上述方法求解,请读者自行练习.

四、不定积分∫ 1 sinmxcosnx dx的计算方法(m,n∈ Z +)

对于不定积分∫ 1 sinmxcosnx dx,经常将1利用公式sin2x+cos2x =1进行替换,然后拆项降低分母的次数,从而简化运算.

例11   求∫ 1 sin3xcos2x dx.

解  ∫ 1 sin3xcos2x dx=∫ sin2x+cos2x sin3xcos2x dx

=∫ 1 sinxcos2x dx+∫ 1 sin3x dx

=∫ sin2x+cos2x sinxcos2x dx+∫ 1 sin3x dx

=∫ sinx cos2x dx+∫cscxdx+∫csc3xdx

=∫ 1 -cos2x dcosx+∫cscxdx+∫csc3xdx

= 1 cosx +ln|cscx-cotx|+ -cscxcotx+ln|cscx-cotx| 2 +c

= 1 cosx + 3ln|cscx-cotx|-cscxcotx 2 +c.

五、不定积分∫ sinx asinx+bcosx dx的计算方法(ab≠0)

用万能公式解这类问题虽然有效,但比较烦琐,本文主要介绍以下两种方法:

1.可以通过待定系数法来求解,先将被积函数分解为

sinx asinx+bcosx = A(asinx+bcosx)+B(asinx+bcosx)′ asinx+bcosx ,将A,B解出,从而原积分化为

∫Adx+∫ B asinx+bcosx d(asinx+bcosx),然后进行计算.

2.可以利用三角函数关系式将分母写为两角和的正弦,并将分子也化为同一角的三角函数,然后拆项进行计算.

例12   求∫ sinx 2sinx+cosx dx.

解  先将被积函数分解为

sinx 2sinx+cosx = A(2sinx+cosx)+B(2sinx+cosx)′ 2sinx+cosx ,

整理得,sinx=(2A-B)sinx+(A+2B)cosx

比较恒等式,有 2A-B=1,A+2B=0,  解得,A= 2 5 ,B=- 1 5 .

于是∫ sinx 2sinx+cosx dx

=∫  2 5 (2sinx+cosx)- 1 5 (2sinx+cosx)′ 2sinx+cosx dx

=∫ 2 5 dx- 1 5 ∫ 1 2sinx+cosx d(2sinx+cosx)

= 2 5 x- 1 5 ln|2sinx+cosx|+c.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系,数学分析:第三版[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2]曾海福,一道不定积分题的九种解法[J].科技信息,2011(23):599.

[3]劉桂兰,季红蕾,黄素珍.一道三角函数有理式的不定积分的解法[J].数学学习与研究,2015(19):104.

[4]沈淑兰.一类三角函数有理式的特殊积分方法[J].大庆师范学院学报,1996(4):22-23,26.

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