数学思想方法在高中数学教学中的应用

时国峰

（甘肃省临夏中学，甘肃 临夏）

数学思想主要是通过教师对数学理论和内容本质的认识，然后将其归纳并传授于学生，而数学方法是数学思想具体化的表现，两者本质是一致的，只是从不同角度去思考数学问题，但都归于数学思想方法中。数学思想一般被分为四种：函数与方程、转化与化归、分类讨论以及数形结合。

一、数形结合数学思想

数形结合在高中数学中属于重点掌握的一项数学应用，比如实数、代数式、方程组以及不等式组与函数，这些可统称为纯粹的数知识，而被数学教育家成为形的知识有平面几何、立体几何，数形结合就是在数的知识的基础上对几何进行解析，解析的过程对学生的数学思想要求很高，需要以形助数和以数辅形。以形助数主要是借助形的生动与直观的特性去阐述数与形之间的联系，最终将数更直观地表达出来，比如高中数学教材中通常都会应用函数的图象来直观地说明函数的性质；以数辅形主要是通过利用数学的精确度以及它严密可寻的规律找出形内在的关联，例如用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数学家曾说过，数学是研究我们现实世界中的量关系与空间形成的科学方法。数形是将数学问题所需的条件以及最终的解答结论结合并对其进行分析，同时为高中生学习数学思想提前埋下了种子，通过几何更加直观地理解数形，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好。

数形结合的思想，主要是将抽象的数学语言与直观的图象相结合之后能够让人们更直接地理解数学。它不仅可以让代数问题几何化，还能够将几何问题数学化，其中的关键点是代数问题和图形之间的转换。在转换时，要注意引导学生，让学生能够清楚明白数形结合所有可能运用到的概念以及运算的几何意义跟曲线所代表的代数特征。在运用数形结合时要恰当设置参数、结合已知条件建立关系，做好属性转换的准备。

二、分类讨论思想方法

在进行数学问题的讨论时，我们会遇到各种各样的问题，对于这些不同问题我们要进行分类并分开求解，最终综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论在数学思想中是常用的一种逻辑方法，也是最重要的数学思想之一，如果运用娴熟对学生解题会带来更大的帮助。分类讨论通过化整为零的方法将已知条件分类，通过相关的信息分别得出答案后，最终结果相加。分类讨论能够培养人的思维能力、逻辑条理的搭建以及对问题的概括，分类讨论在高考试题占很大的分值。

在高中数学中，我们一般会遇到以下几种情况：

1.对数学问题进行分类定义。如|a|的定义分 a＞0、a＝0、a＜0 三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。

2.关于数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

3.解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式 ax＞2 时分 a＞0、a＝0 和 a＜0 三种情况讨论。这称为含参型。

以上三种问题都能够通过先对问题的对象进行范围限定，然后进行合理的分类，一一作出解答之后再进行综合，得出的结论就是最终的正确结果。

三、函数与方程的思想方法

函数思想主要是通过利用函数的概念去分析问题，通过运用数学语言对问题的数量进行转换，转换为数学模型并通过方程的方式对问题进行求解。最著名的笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题是函数与方程最主要的计算方式。在数学中只要有等式的地方就有公式与方程，想到求解就需要解答方程，函数与方程其实并没有太大的区别，比如函数y＝f（x），就可以看作关于x、y的二元方程f（x）－y＝0。不难看出求解函数跟方程是息息相关的，列方程并进行解答等一系列过程与函数是分不开的，一般情况下函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f（x）的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。

四、结束语

总之，数学思想的形成是在我们读书时代通过培养所形成的，这个形成过程主要是通过多接触数学解题，在解题过程，从未知向已知、从复杂到简单的化归转换这个过程便是我们形成数学思想的过程。教师在对高中学生进行授课时，要想办法将学生遇到的新问题转化为他们熟悉的问题，再将问题由特殊到一般，从具体走向抽象，这样才能够更好地帮助学生构建数学思想。