左群的一种刻画

李祥玲,王正攀*

(西南大学数学与统计学院,重庆 400715)

在代数系统中,结合运算往往对应着某种非结合运算,甚至相互决定,例如交换群上的加法与减法相互决定，域上非零元的乘法与除法相互决定，数域上矩阵代数的加法和乘法对应着李运算.文献[1-2]用“除法”给出了群的等价定义，关于群的等价定义，文献[3-5]也做了讨论.众所周知,群是“具有左单位元左逆元”的半群,而左群是“具有右单位元左逆元”的半群[6-9],是群的一种自然推广.文中用初等方法(不涉及专门的半群理论)证明左群也可用“除法”给出等价定义.

定义1令S为一个半群，E(S)表示S的幂等元(满足x2=x的元素)集.称S为左群,如果

(1)对∀a∈S，存在e∈S，使得ae=a;

(2)对∀a∈S，存在a′∈S，使得a′a=e.

引理1令S为一个左群，则对任意f∈E(S),有

( i )对∀a∈S，有af=a；

( ii )对∀a∈S，存在a*∈S，使得a*a=f.

证明令e满足定义1中的条件(1).

( i )由定义1的中条件(2)知,存在f′∈S，使得f′f=e.因为f是幂等元,所以有ef=(f′f)f=f′f=e.因此,对任意a∈S,由定义1的条件(1)知,af=(ae)f=a(ef)=ae=a.

( ii )对任意a∈S,由定义1的条件(2)知,存在a′∈S使得a′a=e,从而由定义1的条件(1)知,(fa′)a=fe=f.取a*=fa′即有a*a=f. 】

左群中每个幂等元都是右单位元,每个元素关于每个幂等元均存在左逆元.不同于群,左群的幂等元不一定唯一.任给非空集合L,在L上定义乘法:对任意a,b∈L,有ab=a.不难看出,集合L关于该乘法形成左群.

引理2令S为一个左群，则对任意e∈E(S),Ge={x∈S:ex=x}形成一个群.

证明首先,Ge显然形成子半群.由引理1(ii)知,对任意x∈Ge，存在x*∈S使得x*x=e.显然，ex*∈Ge且满足(ex*)x=e,因此Ge形成群. 】

易知,对任意a∈S,均存在e∈E(S)使得a∈Ge.事实上,对任意f∈E(S),由引理1知,存在a*∈S使得a*a=f,从而有(aa*)(aa*)=afa*=aa*,即aa*∈E(S);同时,有(aa*)a=af=a.

引理3令S为一个左群.对任意e,f∈E(S),若Ge∩Gf≠∅,则e=f.

证明令x∈Ge∩Gf,取x在群Ge中的逆元x1,则由Gf的定义和引理1(i)知,e=xx1=(fx)x1=fe=f. 】

对任意a∈S,注意到引理2和3,下文记a所在群Ge中的逆元为a-1,其中的单位元为a0.

引理4令S为一个左群,则对任意a,b∈S,有(ab)0=a0.

证明由a0(ab)=ab知,ab∈Ga0,从而由引理3知,a0=(ab)0. 】

引理5令S为一个左群,则对任意a,b∈S,有(ab)-1=a0b-1a-1.

证明由引理1(i)知,(a0b-1a-1)(ab)=a0b0=a0=(ab)(a0b-1a-1),又显然有a0b-1a-1∈Ga0,从而由引理4知,(ab)-1=a0b-1a-1.

本文的主要结论如下：

定理1令S为非空集合,则S关于其上的一个二元运算(用乘法表示)作成一个左群当且仅当S关于其上的一个二元运算“/” 满足以下条件：

( i )对∀a,b∈S,有a/(b/b)=a;

( ii )对∀a,b,c∈S,有(b/a)/(c/a)=b/c;

(iii)对∀a,b,c∈S,有a/((c/c)/b)=a/((b/b)/b).

证明必要性.假设S关于给定的二元运算作成一个左群,在S上定义二元运算“/”:对任意a,b∈S,a/b=ab-1.由引理1(i)知，

a/(b/b)=a(b/b)-1=a(b0)-1=ab0=a,

即(i)成立.

又由引理5和引理1(i)可知,

据第二式,自然有a/((b/b)/b)=ab.于是(ii)和(iii)也成立.

充分性.设(S,/)满足条件(i),(ii)和(iii),在S上定义如下乘法:对任意a,b∈S,有ab=a/((b/b)/b).现取定b0∈S,则对任意a∈S,由(i)和(ii)可知,

令a′=(b0/b0)/a，则由(i)和(ii)知,

据左群的定义,只需要证明该乘法满足结合律.对任意的x∈S,记(x/x)/x为x*.对任意的a,b,c∈S,记(a/a)/a为a*，则由(i)和(ii)可知,

从而有

另一方面,由(ii)和(iii)可知,

所以结合律成立.故集合S关于该乘法作成一个左群. 】

推论1[1-2]令S为个一个非空集合,则S关于其上的一个二元运算(用乘法表示)作成一个群当且仅当S关于其上的一个二元运算“/”满足以下条件：

( i )对∀a,b∈S，有a/(b/b)=a;

( ii )对∀a,b,c∈S，有(b/a)/(c/a)=b/c;

(iii)对∀a,b∈S，有a/a=b/b.

证明易见,二元运算“/”满足条件(i)～(iii)时,必有定理1的条件(i)～(iii)成立,因此S关于定理1充分性证明中定义的乘法形成左群.注意到条件(i)～(iii)，对任意a∈S,有

a((a/a)/a)=a/((a/a)/((a/a)/a))=a/a.

反过来,S关于其上乘法作成一个群,则S关于定理1必要性证明中定义的二元运算“/”满足条件(i),(ii),条件(iii)显然成立. 】