旋转超声加工系统的频率分叉研究

隆志力，张建国，王超，邹建军

（1.哈尔滨工业大学深圳研究生院，广东深圳518055；2.东莞理工学院机械工程学院，广东东莞523808）

超声波控制系统是旋转超声加工的核心部件，其超声能量输出直接影响硬脆性材料去除的效率、刀具寿命与加工质量。因此，对超声波能量的控制方式极为关键。感应耦合非接触电能传输技术[1-3]（inductively coupled power transfer，ICPT）是利用电力电子技术和电磁感应原理，通过原、副边磁芯存在的空气间隙，把电能从变压器原边传输到副边，从而完成电能的非接触传输工作。国内外相继开展了关于非接触式电能传输的理论研究及实验应用，取得了多项技术突破，并在不同领域得到应用[4-6]。松耦合变压器也随之被引入超声加工领域[7-9]，使超声加工中的电能传输从传统的碳刷接触式传输进化到非接触式电能传输，使碳刷在高速旋转时的摩擦发热严重、寿命短、成本高及无法自动换刀等问题得到了完美解决。

当旋转超声波加工系统使用非接触式电传输模块后，整个系统就会变为高阶数学模型系统，导致系统的频率特性与超声能量控制变得更加复杂。针对此问题，本文构建了旋转超声加工的频率与阻抗模型，采用Matlab平台仿真分析了超声系统的频率与阻抗特性，并通过实验验证了仿真结果。

1 超声加工驱动系统

超声波驱动器可认为是旋转超声加工的核心模块，其主要功能是将220 V/50 Hz的市电转换成与换能器工作谐振频率一致的正弦波电信号，并以一定功率的电能量驱动压电换能器，进而产生一定的振幅能量。图1是超声加工驱动系统的主要架构。图1a是根据Mason推导得到的经典等效电路，其中，C0称为静态电容，由压电陶瓷厚度、电极面积和材料介电常数等决定；R1为动态电阻；C1为动态电容；L1为动态电感，此动态参数与换能器加工负载相关。图1a所示左侧部分为系统的匹配参数，T2为系统非接触传输部分的松耦变压器，其转换系数为M。图1b是超声波驱动系统的简化电路图。可见，驱动系统中包含电阻、电容和电感，工作过程中换能器的等效参数具有动态变化特性，变压器也引入感性成分且存在漏感，因此整个驱动系统具有复杂的电容和电感特性。为了实现系统最大的传输功率和最高的传输效率，需对整个系统的频率与阻抗特性及其影响规律进行深入研究。

图1 超声加工系统等效电路图

2 频率阻抗模型

根据图1所示驱动系统的电路图和戴维南定理，可得副边等效阻抗计算公式为：

经变压器将副边阻抗折算到原边，可得：

折算后的阻抗可写成实部与虚部的和的形式：

整理可得到副边阻抗折算到原边的实数部分：

以及副边阻抗折算到原边的虚数部分：

可得副边谐振频率为：

整理可得到补偿匹配电容为：

副边阻抗折算到原边得到的原边总阻抗为：

其中，Zr可表示为：

进一步可得阻抗角为：

对上式进行处理，可得副边品质因数、变压器耦合系数与系统频率f、ω的关系为：

由此可看出，初级阻抗角受到谐振频率、耦合系数和次级品质因数的共同影响。

3 仿真计算

根据推导的阻抗与相位模型，在Matlab Simulink平台上构建超声驱动系统的仿真模型。如图2所示，L1、C1、R1、C0为换能器参数；Cp、Cs为原副边的耦合电容；T1为松耦合变压器的参数，其中Lp、Ls为其原边和副边漏感。

图2 仿真模型

在仿真模型中，对超声波驱动系统进行频率扫描仿真，起始频率为23 kHz，终止频率为33 kHz，频率间距为10 Hz，仿真结果见图3。图3a是当Qs取值为1时的相位曲线，可见随着耦合系数从0.7增加到0.9时，整个超声波驱动系统从有1个过零点增加到3个，分别为初级电路固有谐振频率、低分叉谐振频率和高分叉谐振频率，即此时电路发生了频率分叉现象；且从图3a可看出，临界耦合系数为0.7。图3b是当Qs取值为2时的相位曲线，可见耦合系数为0.44时，过相位零点从1个增加到3个，所以临界耦合系数为0.44。在换能器工作时，3个频率点都有可能被选为系统的工作频率，进而导致系统工作不稳定，也会使系统在频率跟踪时发生混乱，找不到实际的频率点，因此频率分叉现象会破坏系统稳定工作。

图3 不同品质因数下阻抗角与频率之间的关系

由上述两组曲线可知，当品质因数固定时，松耦合变压器的耦合系数一旦超过临界值，系统就会发生频率分叉现象，且随着负载品质因数的增大，频率分叉发生的耦合系数变小。基于上述分析可知，在设计系统时应尽可能使品质因数小、耦合系数小，才有可能避免频率分叉现象的发生，这也是设计松耦合变压器时需着重考虑的地方。

进一步分析频率分叉现象，并求出频率分叉的边界条件及原、副边品质因数，由公式Q=ωL/R计算可得：

将整体等效阻抗与副边发生并联谐振阻抗做归一化处理，令：

工作频率和副边并联谐振频率的比u=ω/ωn作为归一化因子，其中u可表示工作频率偏离谐振频率的大小，同时将Qp、Qs同时代入上式，整理可得：

从式（16）可看出，Zn是关于Qp、Qs和u的关系式，Zn的解受到工作频率和初级、次级品质因数的影响，频率分叉现象不发生，即当此数学模型零相位角频率等于副边谐振频率有唯一解时，就需式（16）的Zn=0时有唯一解，对Zn=0进行处理可得：

可将u2当成一个未知自变量，令u2=x，替换后可得：

当式（18）有唯一解只需Δ=0即可：

通过计算可得：

式（20）即为发生频率分叉的临界值。因此，只有当Qp＜Qs+1/Qs时，系统才不发生频率分叉现象，此时原边品质因数需比副边品质因数小。而当Qp＞Qs+1/Qs时，系统发生频率分叉现象，原边品质因数比副边品质因数要大一些。

换到次级品质因数和耦合系数的关系时，可表示为：

进而可得到不发生频率分叉现象时副边品质因数与耦合系数之间的关系表达式、负载阻抗与耦合系数的关系表达式，分别为：

副边品质因数随着耦合系数的增大而减小，副边阻抗也随着耦合系数的增大而减小。从上述分析可得出结论：系统的负载越轻，耦合系数越小，越不易发生频率分叉现象。

3 实验

基于构建的阻抗模型与仿真分析，搭建了如图4所示的实验平台。分别以超声波驱动系统的3个频率（27.35、28.10、28.50 kHz）驱动压电换能器，通过示波器观测换能器两端电压与电流信号，并用激光多普勒测量仪对换能器输出振幅进行测量。

图4 实验平台

图5是测得的超声波驱动系统的电压、电流和振幅曲线。由图5a可见，以3个不同频率加载换能器两端电压分别为31.9、32、32.7 V，相差很小。由图5b可见，低分叉频率时振幅为6.43 mV、谐振频率振幅为22.6 mV、高分叉频率时振幅为18 mV。因此，以相同电压驱动这3个不同频率时，换能器输出振幅相差很大。这是因为不同频率时系统的总阻抗不同，当工作在非谐振频率时系统能量过多地消耗在电感和电容上，而不是消耗在实际做功的动态电阻上，导致系统的电能转化效率低。

图5 示波器实测波形图

4 结论

本文构建了超声加工驱动系统的阻抗模型与仿真模型，包括换能器等效参数、松耦合变压器参数及匹配电容、电感等参数。由于超声加工驱动系统是一个多阶数学模型，从仿真上也得到超声加工系统存在频率分叉现象，即在一定的频率范围内，超声系统存在多个频率点，而这些频率点均可能在工作过程中被驱动。因此必须有效控制和避免超声加工的频率分叉现象。测试实验采用激光多谱勒仪对已有超声换能器系统的3个频率的振幅进行测量，发现系统的3个频率的振幅输出均不同，当以谐振频率工作时，系统的输出振幅最大。

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