线性支出系统的试算分析法

宋子昀，王伟玲

（1.广东水利电力职业技术学院 应用外语系，广州 510635；2.中山大学新华学院 生物医学工程学院，广州 510520）

0 引言

需求方程是研究市场消费品的需求重要工具，研究人们对各类商品的消费需求基本规律，从市场供给的角度探讨各种商品需求的影响因素，研究消费支出在各类商品之间的分配规律，探索消费结构。

线性支出系统是重要的消费结构研究模式，最为广泛的线性支出系统是英国经济学家斯通（Stone）于1954年提出的。线性支出系统的效用函数为：

相应的预算约束：

式中Z为预算总支出；

Pi为第i类商品的价格；

Xi为第i类商品的销售量。

按照效用最大化建立线性支出系统，见方程（3）。

线性支出系统：

式中i=1、2、…、n；其余同上。

试算法：首先假设A并代入式（4），根据样本数据，采用OLS估计参数，再代入式（5）：

检验假设值A是否正确。如果式（5）不满足，则重新假设A值，重复以上步骤，直至满足式（5），则假设的A值即为所求值，并代入式（3），即可直接估计其余参数。

单纯试算法的不足之处就是带有盲目性和不确定性，如果采用试算分析法可以克服这一缺点，使得线性支出系统的建立更加简便。

1 试算分析法

定义1：线性支出系统的试算模型为：

式中Z为预算总支出；

Pi为第i类商品的价格；

Xi为第i类商品的销售量。

αi，0＜αi＜1，∑αi=1；为非负常数，且可以看作第i类商品的最低需求量；

B为试算假定常数。

由式（5）和式（6）可以改写为：

定理1：线性支出系统的试算模型（7）中的ˆ和B为线性关系。

证明：将式（7）改写为：

其中：

利用给定的样本数据，采用普通最小二乘法估计式（9），可以得到两个常数ˆ和ˆ，由式（10），得：

可以看出ˆ和B为线性关系，证毕。

定理2：如果B1、B2为B的两个假设值并代入下式：

证明：设B1、B2为B的两个假设值，代入式（7），采用普通回归分析法分别估算，由于ˆ和B存在线性关系，则有插值公式：

式（14）中，当B=ˆ时，即为所要求的解，则有：

证毕。

根据定理2，可以估算A，将A代入式（3），并根据已知的Z和PiXi资料，可以直接估计其他参数（i=2、…、n）：

由此建立线性支出系统模型。

2 算例

根据文献[1]提供的算例，有关商品消费数据见表1所示。

表1 有关商品消费统计表

估计线性支出系统的步骤如下：

表2 变量合并后的商品消费统计表

假设 M1=10000和 M2=11000，代入方程（7）或方程（12），并根据表2数据，进行分别计算10979.9，由式（15）求得：。A=14140.6代入式（16）得：

由此估算其余参数，结果见表3所示。

表3 各参数估计成果

与A的估计值Aˆ=14140.6基本相等。表3的参数估计成果代入式（3）即可得到线性支出系统预测方程。

3 结束语

线性支出系统和扩展线性支出是经济学的重要模型，系统所包含的因素众多，为建立线性支出系统和扩展线性支出系统模型，需要利用已知的Z和PiXi资料对众多参数进行估计，其计算量与变量数量有关，本文采用试算分析法，可以大大简便参数的估计工作量，可以快速、准确估算各参数，对经济分析提供有益的借鉴方法。

参考文献：

[1]李长风.经济计量学[M].上海：上海人民出版社，2010.

[2]汪潮阳，池峰.经济学基础[M].合肥：合肥工业大学出版社，2008.

[3][美]保罗·萨缪尔森，威廉·诺德豪斯.经济学[M].北京：人民邮电出版社，2011.