踏破铁鞋无觅处,方法尽在图像中—谈函数零点存在性的证明

江苏省宜兴第一中学(214205) 花雨 杜亚强

苏教版教材必修1“函数与方程”一节给出了如下零点存在定理:

定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,并且有f(a)f(b)＜0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

在具体解题中,尤其是在解与零点有关的证明题中,如何确定a,b的值,经常成为一个难点.

题目设函数讨论f(x)的零点个数并证明.

解f(x)的定义域为(0,+∞),(1)当a≤0时,f(x)＞0,f(x)没有零点;(2)当a＞0时,因为,所以f(x)在(0,+∞)单调递增.因为所以当a＞0时,f(x)存在唯一零点.

提出问题本题中的f(a)和是如何发现的?

例1若函数f(x)=lnx-x-a有两个不同的零点,求实数a的取值范围.

解由f(x)=lnx-x-a,得所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.故当x=1时,f(x)取得最大值,且最大值为f(1)=-1-a.事实上,由f(1)=-1-a＞0,可以得到a＜-1;此时可取x1=ea∈(0,1),有f(ea)=-ea＜0;取x2=-2a∈(1,+∞),有f(-2a)=ln(-2a)+a.令在(1,2)上单调递增,在(2,+∞)单调递减,故当x=2时,g(x)取得最大值,且最大值为g(2)=ln2-1＜0,所以x∈(1,+∞)时,g(x)＜0.所以f(-2a)=ln(-2a)+a＜0.

评析若函数f(x)有两个不同的零点,当且仅当下列三个条件同时成立;

①f(1)=-1-a＞0;②∃x1∈(0,1),使得f(x1)＜0;③∃x2∈(1,+∞),使得f(x2)＜0.

图1

首先来看解法中的x1=ea,x2=-2a是如何得到的,先考虑条件②∃x1∈(0,1),使得f(x1)＜0.在同一坐标系中作出y=lnx和y=x+a的图像,使它们交于两点,如图1.直线y=x+a与y轴交于点(0,a),作直线y=a与y=lnx的图像交于点(ea,0),因为a＜-1,所以ea∈(0,1),f(ea)=lnea-ea-a＜0.

下面考虑条件③∃x2∈(1,+∞),使得f(x2)＜0.过原点作函数y=lnx的图像的切线:该直线与直线y=x+a相交.为便于计算交点坐标,选择过原点且斜率在区间上的直线得x=-2a∈(1,+∞),f(-2a)=ln(-2a)+a＜-a+a=0.对于ln(-2a)＜-a,可以构造函数进行证明.当然如果平时能够有意积累一些不等式,对于寻找解题思路无疑是有益的.

方法在以上解题过程中,有几个要点需要总结:

(1)令f(x)=0,通过移项等手段构造出两个函数,在同一坐标系中作出两个函数的图像并观察两个图像的变化趋势及交点位置,两个交点的横坐标其实就是函数f(x)的两个零点.要找到上文中的x1和x2,就必须在两个交点的外侧找到两个确定的点,这往往需要构造新的图像与两已知函数的图像之一相交.

(2)如要在指对函数等超越函数的图像上找点,为便于计算,应尽可能考虑函数图像与垂直坐标轴的直线的交点.除此以外,需找的点应尽可能在非超越函数的图像上产生.

(3)要充分利用好函数图像与坐标轴的交点以及函数图像的某条切线.如本题中的点(0,a),y=lnx的图像的切线

(4)为便于计算,结合函数图像的变化趋势,可以进行适当的不等式放缩.上题中实际就使用了函数放缩:

回到文初的问题:在a＞0时,该题中的f(a)和是如何发现的?

图2

例2已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,求a的取值范围.

解由f′(x)=ex-2,可得f(x)在(-∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,且在x=ln2处取得最小值,最小值为f(ln2)=2-2ln2+a.

(1)当a=2(ln2-1)时,最小值f(ln2)=0,此时函数存在唯一的零点.

评析当a＜2(ln2-1)时,若函数f(x)有两个不同的零点,当且仅当下列三个条件同时成立:

①f(ln2)＜0;②∃x1∈(-∞,ln2),使得f(x1)＞0;③∃x2∈(ln2,+∞),使得f(x2)＞0.

首先,来看解法中的x1=是如何得到的.先考虑条件②∃x1∈(-∞,ln2),使得f(x1)＞0,在同一坐标系中作出y=ex和y=2x-a的图像,使它们交于两点,如图3.直线y=2x-a与x轴交于点该点在两函数图像左边交点的左侧.因为a＜2(ln2-1),所以而

图3

例3设函数f(x)=lnx-ax,其中a为实数.试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.

①当a=0时,由f(1)=0及可得f(x)存在唯一的零点;

②当a＜0时,在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=-a＞0,f(ea)=a(1-ea)＜0.故f(x)存在唯一的零点;

评析本题利用了函数y=lnx的图像与x轴的交点(1,0),当 0＜a＜e−1时,确定实际上使用了函数放缩:x＞0时,可以解得如图4.

图4

结束语

近几年来,利用导数研究含参函数零点问题经常作为一道大题出现在各地的高三模拟试卷中,有时甚至作为压轴题出现.学生在对函数求导后,结合函数图像和参数的范围往往能判断出零点的个数.但具体的论证极少有学生能够完成,其中的难点在于找出特殊点,使得函数值出现正负.本文从特征点、图像的切线出发,结合函数图像的变化趋势和函数放缩,对此做了一些探索.本文的例题以指对函数与一次函数的结合为主,对于指对函数与二次函数相结合的类型以及其它类型,还要考虑渐近线的作用甚至利用指对函数的泰勒级数进行放缩求解.

[1]李素波.浅析放缩法在应用零点存在判定定理时的作用[J].中国数学教育,2016(10):53-57.