转化思想方法在高中数学解题中的应用

贾堃邦

解决数学问题的思想方法是学好数学的关键，它是打开数学世界的“金钥匙”。那么转化思想方法就是数学思想方法的核心、重中之重。目前高中的数学存在“”入门难”、“程度高”、“课时紧”等一系列难度问题。面对这样的形势，大部分刚升入高中的学生一时间难以适应这种强度的教学内容，存在众多困难。无论是学生还是老师，都希望找到合适的数学思想方法，从而解决数学上的难题。那么，重视思想方法的挖掘与应用，是老师和学生目前重要的教学任务和学习任务。

转化思想方法在高中数学中有着很重要的地位，是数学思想中的核心和要害。什么是数学转化思想，就是将难以理解、难以解决的问题，用等价的方式，把原有的问题转化成容易理解、容易读懂的问题，使有难度的问题简单化。比如：它可以将语言描述的问题转化成以图形表达的方式，或者将图形问题转化成数量问题。这种思想转化包含了数学中的数、式、形之间的相互转化。

一、简单化熟悉化原则在三角函数问题中的应用

简单化熟悉化原则是指将难以理解、较为复杂的问题转化为容易读懂、简单的问题，将陌生的问题转化为自己熟悉的问题来解题。这种解决数学问题的方法，是高中数学中做题的重要方法之一，是学生不可缺少的方法。它的形成是需要通过长期的学习基础知识、不断地积累基础操作和基础方法获得。因此，这个原则既是掌握基础题型方法、基础知识的方法，又是将复杂的数学问题逐步分解成基础问题的重要方法。简单化熟悉化原则在高中三角函数中应用最多。比如：已知向量m=（cosA，sinA），n=（6，2），mn=-2且A为锐角。（1）求角A的大小。（2）求函数f（x）=sin2x+4sinAcosx（x∈R）的值域

解题步骤：先通过化简，将复杂的题一步步简单化，再思考两者之间的数学关系以及联系之前做过的题型，将题转化为自己熟悉的题型；最终是利用熟悉的三角函数公式，将其中转化的数字带入公式中，以简化难。

二、和谐化直观化原则在不等式的最值問题中的应用

和谐化原则是指转化问题的表述方式。将条件、问题，以符合数学内部逻辑的形式联系在一起并表达出来。直观化原则是指将抽象、不容理解的概念以及数理关系，以直观的形式展现在学生面前。

在解决几何的问题中最容易运用数形结合的方法，也可以利用代数的方法来解决几何问题。在数学中我们常常将数、形、式之间进行转化，在转化的过程中获得解决问题的思路。如出现函数就会联想到与它相关的函数公式、函数定理，以及相关的图象是什么样子，所具有的特点是什么，它们之间又有怎样的联系等等。在求解或验证等式或数式的最值问题时，可分析已有的条件，运用已知的条件构造出能够形成的等式和数学关系，再转化问题的条件加上形成的等式，通过数、形、式结合起来，解决问题。比如：f（x）=cosx+cos2x=cosx+2cosx-1=2t+t-1【其中t=cosx∈[-1，1]】则f（x）的最大值是当t=cosx=1时取得的，是2，最小值是当t=cosx=-1/4时取得的，是-9/8

解题思路：将三角函数与二次函数挂钩，通过三角函数公式的转化，把（x）=cosx+cos2x转化成cosx+2cosx-1，再将cosx用t来表示，从而形成f（x）=2t+t-1这样的二函数，再通过画图得知最大值和最小值，从而做到数形结合。

三、正难则反原则在证明题与概率与排列组合问题中的应用

正难则反原则是指当问题顺着讨论时出现问题时，可以反面的想法倒着思考，考虑从问题的另一面解决困难。正难则反问题是解决数学问题中常见方法之一，它可以培养学生的逆向思维。如证明题的反证法就是运用其逆否等价命题来求证，如概率与排列组合问题中常会出现至多或至少这样的问题，可以通过比较问题本身与它的对立事件问题的关系来推理出答案。比如：如果一个三角形的两条对边不相等，那么这两条边所对的两个角不相等。

解题思路：如果三角形里面有2个角度相等，那么由等角对等边可以推出对应的2条边相等那么和我们已知的两边不相等矛盾，所以原假设不成立，三角形里面对应的2角不相等.思路就是由结论推出伪命题.得出跟公理定理相矛盾从而证明这个伪命题不成立。

四、转化思想在数学应用题中的应用

数学思维除了能够数学上的问题之外，可以将数学思维与生活实践的联系，指导学生通过研究数学思维解决实际问题的能力。这一教学方法的转变成为近几年新课改的一个重要的话题，也是社会和教育所要求的改革方向。

教学中，教师应该尝试从实际生活中提出与数学相关的问题，引导学生用数学知识解决生活中的实际问题，这样有助于学生灵活的运用自己所学，从而培养数学运用的思维能力。实际上数学问题能够运用到生活中的方方面面，小到生活中的购物计算，大到信息计算、天体计算，这些都需要学生自我思考，认真理解。比如，数列模型，数列函数作为特殊的函数，在生活中起到重要的作用。例如，在我们日常实际生活中有存款、贷款、分期付款等类似的经济问题都可以归结为数列问题，它们都用了等差数列和等比数列函数的特点来解决。因此，在人们的日常实际生活中，等差数列、等比数列是表现日常经济活动的基本数学问题。掌握这些模型，对于学生利用数学知识解决问题、发展运用意识是十分重要的，也有利于数学和生活实际紧密的联系在一起。

曾经有数学家提过： “数学是一种理性的思维，可以将人类的思维发散开来，使人的思维达到一个最佳的状态”。那么数学思想方法作为解决数学问题的指引，是数学观念形成的重要成员，而转化思想方法是数学思想中的“金牌”。需要教师在教学过程不断地培养和教导学生，而学生需要在学习和做题中，不断积累。最终，形成自己的解题思路。

从转化思想的定义与运用的原则出发，结合具体的解题事例分析每个原则运用的方式和思路。而这些原则方法虽然看起来孤立，但实际上他们相互联系，相互配合，在一定的题型上组合出新的解题原则。如何让这些原则在学生解题中灵活运用，这就需要教育者潜心研究，并不是一味的教方法，而是引导学生自己发现解决问题的方法，并在自己做题的过程中，打破院有的解题思想，创造出新的解题思路，将转化思想灵活的运用到自己的学习中。因此，数学解题的思想方法需要老师和学生共同研究和配合。