离散时间代数Riccati矩阵方程对称解的双迭代算法

刘 敏

(忻州师范学院 五寨分院，山西 忻州 034000)

1 引言

Riccati矩阵方程及其解法的应用很广，尤其是在线性二次优化和振动控制等领域有广泛应用。

时间离散代数Riccati矩阵方程DTARME(Discrete Time Algebraic Riccati Matrix Equation)可以表示为式1-1：

ATXA-X-(ATXB+L)(R+BTXB)-1(BTXA+LT)+G=O

(1-1)

上式中，A,G∈Rn×n，R∈Rm×n，B，L∈Rn×m,并且rank(B)=m，R和G-L-LR-1LT是对称的正定矩阵。方程1-1在最优控制系统以及状态评估领域发挥着非常重要的作用，例如最大成本估算、最优调节器设计以及过滤器设计等方面的实用价值非常强大。为了书写和表达的简便，取LT=O,R=I，获得DTARME的标准表达形式，即式1-2：

ATXA-X-ATXB(I+BTXB)-1BTXA+G=O

(1-2)

2 DTARME标准方程对称解的牛顿算法

为了方便本文的计算和书写，引入ψ(X)和φX(Y)，其中：

ψ(X)=ATXA-X-ATXB(I+BTXB)-1BTXA+G

(1-3)

φX(Y)=ATYA-Y-ATYB(I+BTXB)-1BTXA

-ATXB(I+BTXB)-1BTYA+ATXB(I

+BTXB)-1BTYB(I+BTXB)-1BTXA

(1-4)

假设上式中BTYB(I+BTXB)-1的谱半径小于1，那么可以推导出：

ψ(X+Y)=ψ(X)+φX(Y)+γ(Y)，其中γ(Y)可以表示为式(1-5):

γ(Y)= -ATYB(I+BTXB)-1BTYA+ATXB(I

+BTXB)-1BTYB(I+BTXB)-1BTYA-

(BTYB(I+BTXB)-1)K)BT(X|+Y)A

+ATYB(I+BTXB)-1BTYB(I

+BTXB)-1BT(X+Y)A

(1-5)

此处，φX(Y)是指ψ(X)中的点x沿着Y的方向求得的Frechet倒数。

引理1 假设X∈Ω是DTARME方程(1-2)的近似解，那么方程的对称解可以表示为X*=X+Y，即等价与求证值Y∈Ω满足ψ(X+Y)=O，根据可线性化方式求的Y∈Ω，满足φX(Y)=-ψ(X)。

证明：假设有X∈Ω为方程(1-2)的近似解，设X*=X+Y，则求解X*∈Ω的过程相当于求证Y∈Ω满足ψ(X+Y)=O，即未知矩阵Y相关的非线性矩阵方程。根据牛顿算法的原理，如果Y范数比较小，那么Ψ(X+Y)=Ψ(X)+φX(Y)+γ(Y)中的非线性部分γ(Y)可以舍去，则Ψ(X+Y)=Ψ(X)+φX(Y)+γ(Y)的近似表达式为：

Ψ(X+Y)≈Ψ(X)+φX(Y)

(1-6)

因此，求解对称解X*∈Ω的过程可以近似转化为求解φX(Y)+Ψ(X)=O的过程，所以，需要求得满足φX(Y)=-Ψ(X)的Y∈Ω，证毕。

在引理1中，一般来说，φX(Y)=-Ψ(X)的解并不是方程Ψ(X+Y)=O的精确解，所以X*∈Ω也并不是方程Ψ(X)=O的精确解，但是可以将这个解看作是近似解。修改矩阵的类型，得到求解方程(1-2)对称解的牛顿算法，求解过程可以表示为以下三个步骤：

第一步：确定初始矩阵X(1)∈Ω，设k：=1；

第二步：假设Ψ(X(k))=O，求解结束；否则，求解Y(K)∈Ω，确保：

φX(k)(Y(k))=-Ψ(X(k))

(1-7)

第三步：计算X(k+1)=X(k)+Y(k)，设k:=k+1，则继续执行第二步。

需要特别指出的是，在牛顿算法中，如果线性矩阵方程没有满足条件的对称解Y(k)，那么可以用对称的Ls解来替代，这也是双迭代算法的一个关键特征。

3 求解线性矩阵方程对称解与对称Ls解的MCG算法

首先建立求解线性矩阵方程对称解和对称Ls解的MCG算法，线性矩阵方程的一般形式可以表示为：

(1-8)

上式中，Ai,Y,BiF∈Rm×n。

待求解问题1：当线性矩阵方程(1-8)有对称解，那么求解满足方程(1-8)的Y∈Ω。

待求解问题2：当线性矩阵方程(1-8)无对称解，那么求解Y∈Ω，使:

(1-9)

3.1 问题1的MCG求解算法

记

第一步：给定两个初始化矩阵，分别表示为Y1(1)，Y(2)∈SRn×n,设置k:=1，计算

Rk=F-μ(Y(k))

(1-10)

(1-11)

第二步：如果Rk=O或者Rk≠O，Zk=O那么计算结束；

否则计算：

k:=k+1时，继续进行第二步。

计算结果表明算法1中的矩阵满足下列收敛定理：

定理1：假设问题1相容，那么对于任意的初始化矩阵Y1(1),Y2(2)∈SRn×n来说，算法1都可以在有限的计算中获得线性矩阵方程(1-8)的对称解。

定理2：假设问题1相容，选择初始矩阵Y1(1),Y2(2)，使其满足下列条件：

(1-12)

那么算法2可以在有限计算之后获得问题1的唯一且极小范数解。

3.2 求解问题2的MCG算法

记：

(1-13)

定理4：问题2的求解等价与求f(Y)=Q的对称解，并且一定存在对称解。

证明：求解问题2等价与存在Y1，Y2∈SRn×n满足

(1-14)

等于求解矩阵方程组

可以表示为线性代数方程组：

(1-15)

求解问题2的MCG算法可以表示为：

第一步：给定两个初始化矩阵，分别表示为Y1(1),Y2(2)∈SRn×n，设置k:=1，计算

第四步：k:=k+1时，继续进行第二步。

由此可以得出，算法2中的矩阵满足Y1k,Y2k,P1(k),P2(k)∈SRn×n，对于算法2有和算法1类似的收敛性定理。

4 总结

采用牛顿算法求解DTARME(1-2)方程的对称解，利用MCG算法求解每一步迭代计算导出方程的对称解，建立求解矩阵方程的对称解双迭代计算方法，结果表明这种双迭代算法有效。若修改初始矩阵的类型，那么这种双迭代算法可以应用于其他DTARME(1-2)方程特殊解的求解中。

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